设位于第一象限的平面曲线 $L: y=y(x)$ 过点 $A(0, \sqrt{2}-1)$, 且 $y^{\prime}(x)>0$, 又 $M(x, y)$ 为曲线 $L$ 上的任意一点, 且弧段 $A M$ 的长度与点 $M$ 处 $L$ 的切线在 $x$ 轴上的截距之差为 $\sqrt{2}-1$.
( I ) 求 $y=y(x)$ 所满足的微分方程和初始条件;
(II) 求曲线 $L$ 的表示式.
$\text{A.}$
$\text{B.}$
$\text{C.}$
$\text{D.}$