设函数 $f(x)$ 在点 $x=2$ 处可导, $f(2)=f^{\prime}(2)=\frac{1}{2}$ ,求极限
$$
\lim _{n \rightarrow+\infty}\left(\frac{f\left(\frac{2 n+1}{n}\right)}{f(2)}\right) \overline{\ln \left(2+\frac{1}{3 n}\right)-\ln 2}
$$
【答案】 【参考解答】: 由 $\ln \left(2+\frac{1}{3 n}\right)=\ln 2+\ln \left(1+\frac{1}{6 n}\right)$, 又由 $f(x)$ 在 $x=2$ 处导数定义和等价无穷小 $\ln (1+x) \sim x(x \rightarrow 0)$, 有 $\begin{aligned} & \lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{1}{\ln \left(2+\frac{1}{3 n}\right)-\ln 2} \ln \left(\frac{f\left(\frac{2 n+1}{n}\right)}{f(2)}\right) \\=& \lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{\frac{f\left(\frac{2 n+1}{n}\right)}{f(2)}-1}{\ln \left(2+\frac{1}{3 n}\right)-\ln 2}=\frac{1}{f(2)} \lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{f\left(2+\frac{1}{n}\right)-f(2)}{\frac{1}{6 n}} \\=& 2 \cdot 6 \cdot f^{\prime}(2)=6 \end{aligned}$ 故原极限式 $=e^6$.

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