2023年武汉理工大学数学分析考研真题及参考解答-Kmath科数- 中考、高考、考验数学题库

求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^x-\sqrt[3]{1+3 x}}{\ln \left(1+x^2\right)}$.

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我来讲解

答案：

解：当 $x \rightarrow 0$ 时，有 $\ln \left(1+x^2\right) \sim x^2$ ，由洛必达法则可知:
$$
\begin{aligned}
& \lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^x-\sqrt[3]{1+3 x}}{\ln \left(1+x^2\right)}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^x-\sqrt[3]{1+3 x}}{x^2} \\
& =\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^x-(1+3 x)^{-\frac{2}{3}}}{2 x}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^x-\left(-\frac{2}{3}\right)(1+3 x)^{-\frac{5}{3}} \cdot 3}{2} \\
& =\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^x+2(1+3 x)^{-\frac{5}{3}}}{2}=\frac{3}{2}
\end{aligned}
$$

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