题号:2438    题型:解答题    来源:太原理工大学高等数学2021学年期末考试A卷真题
证明 $x > 0$ 时, $\ln (1+x) > x-\frac{1}{2} x^2$.
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答案:
令$f(x)=\ln (1+x)-x+\frac{x^2}{2} \quad(x > 0)$
$f^{\prime}(x)=\frac{1}{1+x}-1+x=\frac{x^2}{1+x} > 0$.
所以 $f(x)$在 $x > 0$ 递增,
$\therefore f(x) > f(0)=\operatorname{In} 1-0+0=0$
$\therefore \ln (1+x)-x+\frac{x^2}{2} > 0$
$\therefore \ln (1+x) > x-\frac{x^2}{2}$

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