2023年武汉理工大学数学分析考研真题及参考解答-Kmath科数- 中考、高考、考验数学题库

已知 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，且 $f(1)=0$, 则 $\left\{x^n\right\}$ 与 $\left\{x^n f(x)\right\}$ 在 $[0,1]$ 上是否一致收敛，说明你的理由.

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我来讲解

答案：

1）由于 $\lim _{n \rightarrow \infty} x^n=\left\{\begin{array}{l}0,0 \leq x < 1 \\ 1, x=1\end{array}\right.$ ，可知极限函数不连续，所以 $\left\{x^n\right\}$ 在 $[0,1]$ 上不一致收玫.
2) 由于 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，所以有界，设 $|f(x)| \leq M$ ，由于 $f(1)=0$ 可知:
$$
\forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0, \forall x \in[1-\delta, 1] \text { ，成立 }\left|x^n f(x)\right| < \varepsilon .
$$
由于 $\left\{x^n\right\}$ 在 $[0,1-\delta]$ 上一致收玫于零，可知:
$$
\exists N, \forall n > N, \forall x \in[0,1-\delta] \text { ，成立 }\left|x^n\right| < \frac{\varepsilon}{M} .
$$
于是 $\left|x^n f(x)\right| < \varepsilon$ 对一切的 $x \in[0,1]$ 成立，因此 $\left\{x^n f(x)\right\}$ 在 $[0,1]$ 上一致收玫.

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