题号:3348    题型:解答题    来源:B站宋浩老师课程 入库日期 2022/12/7 18:53:10
当$ x > 0 $时,画出 $ y=x^x$的大致图像。
【答案】 解:易知$0^0$,无意义所以,现对题目进行简单扩展。
在本题中,$x$的定义域为$x \ne 0$ ,因此需要对$x > 0$和$x < 0$进行讨论。

(1)当$x < 0$时,可以发现,在有些情况下 $ y=x^x$ 有意义,有些情况下 $ y=x^x$ 无意义。
例如,当 $ x= \frac{1}{3} $ 时, $ y=\left(-\frac{1}{3}\right)^{-\frac{1}{3}}=\frac{1}{3 \sqrt{-\frac{1}{3}}}$,
而当$x=-\frac{3}{2}$ 时, $ y= \left(-\frac{3}{2}\right)^{-\frac{3}{2}}=\frac{1}{\sqrt{\left(-\frac{3}{2}\right)^3}} $ 此时就无意义。

(2)
现在讨论 $x > 0$ 的情况,当$x$取$2,3,4...$ 时,有 $ 2^2=4 \quad 3^3=27 \quad 4^4=16 \times 16$ ,直观的 容易知道 $y$是递增的。 但是,当$x \to 0^+$ 时,$y$ 是多少呢?
因此,首先对$y$求极限。
$
y=\lim{x \rightarrow 0^{+}} e^{x \ln x}=\lim{x \rightarrow 0^{+}} e^{\frac{\ln x}{x}}
$

$
=e^{\lim{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{x^2}}} =e^{\lim{x \rightarrow 0^{+}}(-x)}=1
$

这表明,当$x$从右边趋于$0$时,$y=1$。

但是,这是不是表明$y$会不会一直递增呢?如果一直递增,是凹形递增还是凸形递增?(如下图)



因此,接下来就需要对$y$求导,看看有没有等于0的点。

$ y=x^x $ 对 $x$求导得
$y^{\prime}=\left(e^{\ln x^x}\right)^{\prime}=\left(e^{x \ln x}\right)^{\prime}=$
$ e^{x \ln x}\left(\ln x+x \cdot \frac{1}{x}\right)=(1+\ln x) x^x=0$

解$ (1+\ln x) x^x=0 $ 可以得到
$ \ln x=-1 \quad x=e^{-1}=\frac{1}{e} $
所以,他有驻点,也就是 $x=\frac{1}{e}$ 时,其切点的斜率为0.
所以,上面的2个图像是不完全正确。

接下来讨论凸凹性的问题。因此对$y$二次求导。

$ y^{\prime \prime}=\left[x^x(1+\ln x)\right]^{\prime}=(1+\ln x) x^x \cdot(1+\ln x)+x^x \cdot \frac{1}{x} $
$=x^x\left[(1+\ln x)^2+\frac{1}{x}\right]$

所以, $y'' > 0$ 。 因此,他是凹的。因此,我们大致可以画出他的图形如下



在通过数学分析上述结论后,利用计算机模拟可以得到其最终图像如下





【视频解析】 本试题有在线视频讲解或者试题来源,点击 此处 查看。
系统推荐