计算 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n}\left(\frac{1}{\sqrt{4 n^2+1}}+\frac{2}{\sqrt{4 n^2+2}}+\cdots+\frac{n}{\sqrt{4 n^2+n}}\right)$.
【答案】 【参考解答】: 记 $a_n=\frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \frac{k}{\sqrt{4 n^2+k}}, n=1,2, \cdots$ ,则
$$
\frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \frac{k}{\sqrt{4 n^2+n}} \leq a_n \leq \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \frac{k}{\sqrt{4 n^2+1}}
$$
其中
$$
\begin{aligned}
&\text { 左端 }=\lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{1}{n} \frac{\frac{n(n+1)}{2}}{\sqrt{4 n^2+n}}=\frac{1}{2} \lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{1+\frac{1}{n}}{\sqrt{4+\frac{1}{n}}}=\frac{1}{4} \\
&\text { 右端 }=\lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{1}{n} \frac{\frac{n(n+1)}{2}}{\sqrt{4 n^2+1}}=\frac{1}{2} \lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{1+\frac{1}{n}}{\sqrt{4+\frac{1}{n^2}}}=\frac{1}{4}
\end{aligned}
$$
故由夹逼定理知原极限等于 $\frac{1}{4}$.


系统推荐