题号:617    题型:单选题    来源:1993年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题
设曲线积分 $\int_{L}\left[f(x)-e^{x}\right] \sin y d x-f(x) \cos y d y$ 与路径无关, 其中 $f(x)$ 具有一阶连续导数, 且 $f(0)=0$, 则 $f(x)$ 等于
$A.$ $\frac{e^{-x}-e^{x}}{2}$ $B.$ $\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}$ $C.$ $\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}-1$ $D.$ $1-\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}$
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答案:
B

解析:

在所考察的单连通区域上, 该曲线积分与路径无关 $\Leftrightarrow$
$$
\frac{\partial}{\partial y}\left(\left(f(x)-e^{x}\right) \sin y\right)=\frac{\partial}{\partial x}(-f(x) \cos y),
$$
即 $\left(f(x)-e^{x}\right) \cos y=-f^{\prime}(x) \cos y$,
化简得 $f^{\prime}(x)+f(x)=e^{x}$, 即 $\left[e^{x} f(x)\right]^{\prime}=e^{2 x}$,
解之得 $e^{x} f(x)=\frac{1}{2} e^{2 x}+C$, 所以 $f(x)=e^{-x}\left(\frac{1}{2} e^{2 x}+C\right)$. 由 $f(0)=0$ 得 $C=-\frac{1}{2}$, 因此 $f(x)=\frac{1}{2}\left(e^{x}-e^{-x}\right)$, 故应选 (B).
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