李林考研数学考前冲刺模拟卷1(数学一)-Kmath科数- 中考、高考、考验数学题库

设曲面 $x y z=a(a > 0)$ 与球面 $x^2+y^2+z^2=1$ 在某点相切,则 $a=$

$ \text{A.}$ $\sqrt{3}$. $ \text{B.}$ $\frac{\sqrt{3}}{3}$. $ \text{C.}$ $\frac{1}{3}$. $ \text{D.}$ $\frac{\sqrt{3}}{9}$.

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答案：

解析：

解曲面 $x y z=a$ 与 $x^2+y^2+z^2=1$ 在公切点 $\left(x_0, y_0, z_0\right)$ 处切平面的法向量 $\boldsymbol{n}_1$ 与 $\boldsymbol{n}_2$ 分别为 $\boldsymbol{n}_1=\left(y_0 z_0, z_0 x_0, x_0 y_0\right), \boldsymbol{n}_2=2\left(x_0, y_0, z_0\right)$, 依题设, $\boldsymbol{n}_1 / / \boldsymbol{n}_2$, 故
$$
\frac{x_0}{y_0 z_0}=\frac{y_0}{z_0 x_0}=\frac{z_0}{x_0 y_0},
$$
即 $x_0^2=y_0^2=z_0^2$.
因为 $x_0^2+y_0^2+z_0^2=1$, 所以 $x_0^2=y_0^2=z_0^2=\frac{1}{3}$. 故 $a=x_0 y_0 z_0=\frac{\sqrt{3}}{9}$.

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