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不定积分计算

数学

本试卷总分150分,考试时间120分钟。

注意事项:

答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在本试卷上无效。

考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。

学校：_______________ 姓名：_____________ 班级：_______________ 学号：_______________

一、解答题（共 40 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

1. 计算不定积分:

\int \frac{2 x^{2} + 1}{x^{2} (x^{2} + 1)} d x

。

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2. 计算不定积分:

\int x^{3} \sqrt{x^{4} + 5} d x

。

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\int x \sin \frac{x}{3} d x

。

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4. 设

f^{'} (\cos x) = \sin x, 0 < x < π

, 求

f (x)

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5. 计算不定积分

\int \frac{x + 1}{x^{2} - 2 x + 5} d x

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\int \frac{x}{1 + \cos 2 x} d x

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7. 求不定积分

\int \sin \sqrt{x} d x

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8. 计算

\int \frac{\arccos x}{x^{2}} d x

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9. 设

f (x)

的一个原函数为

\frac{\sin x}{x}

, 求

\int x f^{'} (2 x) d x

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10. 求

I = \int x e^{a x} \cos (b x) d x

以及

J = \int x e^{a x} \sin (b x) d x

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11. 求不定积分

\int {[\arcsin (x + \frac{1}{2})]}^{2} d x

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12. 计算不定积分

\int \frac{1}{x^{2} - 1} \sqrt[3]{\frac{x + 1}{x - 1}} d x

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13. 计算不定积分

\int \frac{x^{5} - x}{x^{8} + 1} d x

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14. 已知

f (x)

为连续函数, 若积分

\int_{0}^{1} [f (x) - x f (x t)] d t

结果与

x

无关, 且

f (0) = 1

, 求

\int \frac{x f (x)}{\sqrt{f (x) - 2}} d x

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15. 求

\int e^{| x |} d x

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16. 计算

\int ⌊ x ⌋ | \sin π x | d x (x ⩾ 0)

, 其中

⌊ x ⌋

为取整函数

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17. 求不定积分:

\int \frac{1}{\sin 2 x + 2 \sin x} d x

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18. 求不定积分:

\int \sin x \sin 2 x \sin 3 x d x

解

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19. 求不定积分

\int e^{x} \sin x d x

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20. 求不定积分:

\int \frac{1}{x + \sqrt{1 - x^{2}}} d x

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21. 求不定积分

\int \frac{x^{n}}{1 + x + \frac{x^{2}}{2} + \dots + \frac{x^{n}}{n!}} d x

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22. 求不定积分:

\int \frac{d x}{1 + x^{6}}

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23. 求不定积分:

\int \frac{d x}{\sqrt{(x - a) (b - x)}}

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24. 求不定积分:

\int \frac{d x}{(x + 7) \sqrt{x - 2}}

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25. 求不定积分:

\int \frac{d x}{x^{2} \sqrt{x^{2} - 1}}

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26. 求不定积分:

\int \frac{1}{x^{4} \sqrt{1 + x^{2}}} d x

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27. 求不定积分:

\int \frac{1}{{(1 + x^{2})}^{2}} d x

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28. 求不定积分:

\int \frac{\sin^{188} x}{(\sin x + \cos x)^{190}} d x

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29. 求

\int \frac{x + \sin x \cos x}{(\cos x - x \sin x)^{2}} d x

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30. 求不定积分:

\int \sqrt{\tan x} d x

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31. 求不定积分

\int \frac{1}{x^{8} + x^{4} + 1} d x

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32. 求不定积分:

\int \frac{x^{2} d x}{{(x^{4} + 1)}^{2}}

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33. 求不定积分:

\int \ln (x + \frac{1}{x}) d x

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34. 求不定积分:

\int \frac{d x}{\sqrt{{(x + x^{- 1})}^{2} - 12}}

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35. 求不定积分:

I = \int \frac{f^{'} (x) + f (x) g^{'} (x)}{f (x) [c + f (x) e^{g (x)}]} d x

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36. 计算积分:

\int \frac{x}{\sqrt{e^{x} + (x + 2)^{2}}} d x

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37. 求不定积分:

\int \frac{\frac{\ln x}{x} + \ln^{2} x}{e^{- 2 x} + \ln^{2} x} d x

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38. 求不定积分:

\int \frac{d x}{\sqrt[3]{(x + 1)^{2} (x - 1)^{4}}}

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39. 求不定积分:

\int \frac{x^{1 / 7} + x^{1 / 2}}{x^{8 / 7} + x^{1 / 14}} d x

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40. 设

y = y (x)

是由方程

y^{2} (x - y) = x^{2}

所确定的隐函数, 求积分

\int \frac{1}{y^{2}} d x

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