一、填空题 （共 40 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
1. 设函数 , 则
2. 求椭圆 在第一象限中的切线（ ）, 使它被两坐标轴所截的线段最短.
3. 计算三重积分 （ ）, 其中 为 且 .
4. 极坐标曲线 在 对应的点处的法线方程为
5. 设曲线 则 在 对应点处的切线方程为
6. 双纽线 绕极轴旋转所成旋转曲面的面积为
7. 设曲线的极坐标方程为 , 则该曲线的斜渐近线方程为
8. 设空间曲线 的方程为 , 从 轴正向看是顺时针方向, 则
9. 设 为可导函数, 曲线 过点 , 且它在点 处的切线过点 , 那么函 数 在 处, 当 取得增量 时, 相应的函数值增量的线性主部是
10. 曲线 的弧长
11. 设函数 在区间 上连续可微, 且
则积分
13. 设曲线 由 所定义，计 算 的弧长
14. 设 是直线 上点 到点 的一段弧, 则
15.
(其中 是 上从点 到点 的一段弧 .
16. 曲线 在点 处的切线方程是
17. 设闭区域 由光滑曲线 围成, 的面积等于 是 的取正向的 边界曲线, 则
18. 曲线 在点 处的曲率圆方程为
19. 曲线 的弧长为
20. 经过 和 且平行于 轴的平面方程为
21. 设曲面 是 的上侧，则
22. 已知曲线 ，则
23. 当 时，对数螺线 的弧长为
24. 曲线 的弧长
25. 曲线 的弧长
26. 设封闭曲线 的极坐标方程为 ，则 所围成的平面图形的面积为
27. 设 是柱面 和平面 的交线，从 轴正方向往 轴负方向看是逆时针方向，则曲线积分
28. 曲线 的极坐标方程是 ，则 在点 处的切线的直角坐标方程是
29. 设 是由曲线 与直线 及 围成的有界区域，则 的面积
30. 设函数 在定义域 上的导数大于零，若对任意的 ，曲线 在点 处切线与直线 及 轴所围成的区域的面积恒为 4 ，且 ，求 的表达式。
31. 若曲线积分 在区域
内与路径无关，则
32. 曲线 由 与 相交而成，则
33. 设 设为曲面 的上侧, 则 .
34. 设函数 的弧长为
35. 设平面区域 由曲线 与 所围成，则 绕 轴旋转所成旋转体的体积为
36. 已知曲线 的极坐标方程为 ，则 围成的有界区域的面积为
37. 曲线 的弧长为
38. 设曲线 经过点 上任一点 到 轴的距离等于该点处的切线在 轴上的截距.
(1) 求 的表达式；
(2) 在 上求一点，使该点处的切线与两坐标轴所围三角形的面积最小, 并求此最小面积.
39. 设平面有界区域 位于第一象限，由曲线
与直线 围成，计算二重积分
40. 已知函数 满足
，
则