一、填空题 （共 40 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
设函数 $f(x, y)=\int_0^{x y} \mathrm{e}^{x x^2} \mathrm{~d} t$, 则 $\left.\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}\right|_{(1,1)}=$
求椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 在第一象限中的切线（ ）, 使它被两坐标轴所截的线段最短.
计算三重积分 $\iiint_{\Omega} z \cos \left(x^2+y^2\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=$ （ ）, 其中 $\Omega$ 为 $x^2+y^2+z^2 \leq R^2, z \geq$ $0, R>0$ 且 $x, y, z \in \mathbb{R}$.
极坐标曲线 $r=1+\cos \theta$ 在 $\theta=\frac{\pi}{3}$ 对应的点处的法线方程为
设曲线 $L:\left\{\begin{array}{l}y^2=x, \\ z=3(y-1),\end{array}\right.$ 则 $L$ 在 $y=1$ 对应点处的切线方程为
双纽线 $r^2=a^2 \cos 2 \theta(a>0)$ 绕极轴旋转所成旋转曲面的面积为
设曲线的极坐标方程为 $r=\frac{1}{3 \theta-\pi}$, 则该曲线的斜渐近线方程为
设空间曲线 $L$ 的方程为 $\left\{\begin{array}{l}x^2+4 y^2=1 \\ x+2 y+z=1\end{array}\right.$, 从 $z$ 轴正向看是顺时针方向, 则
$$
\oint_L \frac{-y \mathrm{~d} x+x \mathrm{~d} y+z\left(x^2+4 y^2\right) \mathrm{d} z}{x^2+4 y^2}=
$$
设 $f(u)$ 为可导函数, 曲线 $y=f\left(\mathrm{e}^x\right)$ 过点 $(1,2)$, 且它在点 $(1,2)$ 处的切线过点 $(0,0)$, 那么函 数 $f(u)$ 在 $u=\mathrm{e}$ 处, 当 $u$ 取得增量 $\Delta u=0.01$ 时, 相应的函数值增量的线性主部是
曲线 $y=\int_0^x \tan t \mathrm{~d} t\left(0 \leqslant x \leqslant \frac{\pi}{3}\right)$ 的弧长 $s=$
设函数 $f(x)$ 在区间 $[0,1]$ 上连续可微, 且
$$
\int_0^1 f(x) \mathrm{d} x=3, \int_0^1 x f(x) \mathrm{d} x=3,
$$
则积分 $\int_0^1 x(x-1)\left[3-f^{\prime}(x)\right] \mathrm{d} x=$
$\int_9^4 \frac{1}{1+\sqrt{x}} \mathrm{~d} x=$
设曲线 $\gamma$ 由 $y^2=\frac{1}{3} x^2(1-4 x), y \geq 0, x \in\left[0, \frac{1}{4}\right]$ 所定义，计 算 $\gamma$ 的弧长
设 $L$ 是直线 $y=x$ 上点 $O(0,0)$ 到点 $A(1,1)$ 的一段弧, 则 $\int_L(x+y) \mathrm{d} s=$
$\int_L \mathrm{e}^x(1-2 \cos y) \mathrm{d} x+2 \mathrm{e}^x \sin y \mathrm{~d} y=$
(其中 $L$ 是 $y=\sin x$ 上从点 $A(\pi, 0)$ 到点 $O(0,0)$ 的一段弧 $)$.
曲线 $ \left\{\begin{array}{c}
y=4 \\
z=\frac{x^2+y^2}{4}
\end{array}\right.
$ 在点 $(2,4,5)$处的切线方程是
设闭区域 $D$ 由光滑曲线 $L$ 围成, $D$ 的面积等于 $2, L$ 是 $D$ 的取正向的 边界曲线, 则 $\oint_L 2 y \mathrm{~d} x-3 x \mathrm{~d} y=$
曲线 $x y=1$ 在点 $(-1,-1)$ 处的曲率圆方程为
曲线 $y=\ln \cos x\left(0 \leq x \leq \frac{\pi}{6}\right)$ 的弧长为
经过 $(4,0,-2)$ 和 $(5,1,7)$ 且平行于 $x$ 轴的平面方程为
设曲面 $\Sigma$ 是 $z=\sqrt{4-x^2-y^2}$ 的上侧，则
$$
\iint_{\Sigma} x y \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+x \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+x^2 \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=
$$
已知曲线 $L: y=x^2(0 \leq x \leq \sqrt{2})$ ，则 $\int_L x \mathrm{~d} s=$
当 $0 \leq \theta \leq \pi$ 时，对数螺线 $r=e^\theta$ 的弧长为
曲线 $y=\int_0^x \tan t \mathrm{~d} t\left(0 \leq x \leq \frac{\pi}{4}\right)$ 的弧长 $s=$
曲线 $y=\int_0^x \tan t \mathrm{~d} t\left(0 \leq x \leq \frac{\pi}{4}\right)$ 的弧长 $s=$
设封闭曲线 $L$ 的极坐标方程为 $r=\cos 3 \theta\left(-\frac{\pi}{6} \leq \theta \leq \frac{\pi}{6}\right)$ ，则 $L$ 所围成的平面图形的面积为
设 $L$ 是柱面 $x^2+y^2=1$ 和平面 $y+z=0$ 的交线，从 $z$轴正方向往 $z$ 轴负方向看是逆时针方向，则曲线积分
$$
\oint_L z \mathrm{~d} x+y \mathrm{~d} z=
$$
曲线 $L$ 的极坐标方程是 $r=\theta$ ，则 $L$ 在点 $(r, \theta)=\left(\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$处的切线的直角坐标方程是
设 $D$ 是由曲线 $x y+1=0$ 与直线 $x+y=0$ 及 $y=2$ 围成的有界区域，则 $D$ 的面积
设函数 $f(x)$ 在定义域 $I$ 上的导数大于零，若对任意的 $x_0 \in I$ ，曲线 $y=f(x)$ 在点 $\left(x_0, f\left(x_0\right)\right)$ 处切线与直线 $x=x_0$ 及 $x$ 轴所围成的区域的面积恒为 4 ，且 $f(0)=2$ ，求 $f(x)$ 的表达式。
若曲线积分 $\int_L \frac{x \mathrm{~d} x-a y \mathrm{~d} y}{x^2+y^2-1}$ 在区域
$$
D=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 < 1\right\}
$$
内与路径无关，则 $a=$
曲线 $S$ 由 $x^2+y^2+z^2=1$ 与 $x+y+z=0$ 相交而成，则 $\oint_S x y \mathrm{~d} s=$
设 $\Sigma$ 设为曲面 $x^2+y^2+4 z^2=4(z \geqslant 0)$ 的上侧, 则 $\iint_{\Sigma} \sqrt{4-x^2-4 z^2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=$ $\qquad$ .
设函数 $y=\ln \cos x\left(0 \leq x \leq \frac{\pi}{6}\right)$ 的弧长为
设平面区域 $D$ 由曲线 $y=\sqrt{x} \sin \pi x(0 \leq x \leq 1)$ 与 $x$所围成，则 $\boldsymbol{D}$ 绕 $x$ 轴旋转所成旋转体的体积为
已知曲线 $L$ 的极坐标方程为 $r=\sin 3 \theta\left(0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{3}\right)$ ，则 $L$ 围成的有界区域的面积为
曲线 $y=\int_{-\sqrt{3}}^x \sqrt{3-t^2} \mathrm{~d} t$ 的弧长为
设曲线 $L: y=y(x)(x>e)$ 经过点 $\left(e^2, 0\right), L$ 上任一点 $P(x, y)$ 到 $y$ 轴的距离等于该点处的切线在 $y$ 轴上的截距.
(1) 求 $y(x)$ 的表达式；
(2) 在 $\boldsymbol{L}$ 上求一点，使该点处的切线与两坐标轴所围三角形的面积最小, 并求此最小面积.
设平面有界区域 $D$ 位于第一象限，由曲线
$$
x^2+y^2-x y=1, x^2+y^2-x y=2
$$
与直线 $y=\sqrt{3} x, y=0$ 围成，计算二重积分
$$
I=\iint_D \frac{1}{3 x^2+y^2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y
$$
已知函数 $f(x, y)$ 满足
$\mathrm{d} f(x, y)=\frac{x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x}{x^2+y^2}, f(1,1)=\frac{\pi}{4} ，$
则 $f(\sqrt{3}, 3)=$