2024全国硕士研究生招生考试考研数学模拟试卷-Kmath科数- 中考、高考、考验数学题库

曲线 $x y=1$ 在点 $(-1,-1)$ 处的曲率圆方程为

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答案：

$(x+2)^2+(y+2)^2=2$

解析：

注意到曲线 $x y=1$ 可以写为 $y=\frac{1}{x}$, 于是 $y^{\prime}=-\frac{1}{x^2}, y^{\prime \prime}=\frac{2}{x^3}$
所以曲线 $x y=1$ 在点 $(-1,-1)$ 处的曲率半径 $R=\left.\frac{\left[1+\left(y^{\prime}\right)^2\right]^{\frac{3}{2}}}{\left|y^{\prime \prime}\right|}\right|_{(1,1)}=\sqrt{2}$ 。
由于 $\left.y^{\prime}\right|_{x=1}=-1$, 所以法线斜率为 1 , 所以 $\left\{\begin{array}{l}x=-1-\sqrt{2} \cos \frac{\pi}{4}=-2 \\ y=-1-\sqrt{2} \sin \frac{\pi}{4}=-2\end{array}\right.$ 。
所以符合题意的曲率圆方程为 $(x+2)^2+(y+2)^2=2$

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