题号:2992    题型:填空题    来源:李林考研数学考前冲刺模拟卷1(数学二)
设曲线的极坐标方程为 $r=\frac{1}{3 \theta-\pi}$, 则该曲线的斜渐近线方程为
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答案:
$y=\sqrt{3} x+\frac{2}{3}$.

解析:

曲线的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=r \cos \theta=\frac{\cos \theta}{3 \theta-\pi} \text {, } \\ y=r \sin \theta=\frac{\sin \theta}{3 \theta-\pi}\end{array}\right.$.
当且仅当 $\theta \rightarrow \frac{\pi}{3}$ 时, $x \rightarrow \infty$, 则
$$
\begin{gathered}
k=\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{y}{x}=\lim _{\theta \rightarrow \frac{\pi}{3}} \tan \theta=\sqrt{3} . \\
b=\lim _{x \rightarrow \infty}(y-\sqrt{3} x)=\lim _{\theta \rightarrow \frac{\pi}{3}} \frac{\sin \theta-\sqrt{3} \cos \theta}{3 \theta-\pi} \\
=\lim _{\theta \rightarrow \frac{\pi}{3}} \frac{\cos \theta+\sqrt{3} \sin \theta}{3}=\frac{2}{3} .
\end{gathered}
$$
故所求斜渐近线方程为 $y=\sqrt{3} x+\frac{2}{3}$.

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