设 $f(u)$ 为可导函数, 曲线 $y=f\left(\mathrm{e}^x\right)$ 过点 $(1,2)$, 且它在点 $(1,2)$ 处的切线过点 $(0,0)$, 那么函 数 $f(u)$ 在 $u=\mathrm{e}$ 处, 当 $u$ 取得增量 $\Delta u=0.01$ 时, 相应的函数值增量的线性主部是
【答案】 $0.02 \mathrm{e}^{-1}$.


【解析】 【解析】曲线 $y=f\left(\mathrm{e}^x\right)$ 在点 $(1,2)$ 处的切线斜率为 $k=\frac{2-0}{1-0}=2$, 即 $\left.\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}\right|_{x=1}=\left.\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} u} \cdot \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{~d} x}\right|_{x=1}=\left.f^{\prime}\left(\mathrm{e}^x\right) \mathrm{e}^x\right|_{x=1}=f^{\prime}(\mathrm{e}) \mathrm{e}=2$, 则 $f^{\prime}(\mathrm{e})=2 \mathrm{e}^{-1}$,
故 $\left.\mathrm{d} y\right|_{u=\mathrm{e}}=\left.f^{\prime}(u) \Delta u\right|_{u=\mathrm{e}}=f^{\prime}(\mathrm{e}) \Delta u=2 \mathrm{e}^{-1} \times 0.01=0.02 \mathrm{e}^{-1}$.
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