设 $\varphi(t)$ 具有连续导数, $\varphi(0)=0$. 在全平面内曲线积分
$$
I=\int_L(y-2 x \varphi(x y)) \mathrm{e}^{-x^2-y^2} \mathrm{~d} x+(x-2 y \varphi(x y)) \mathrm{e}^{-x^2-y^2} \mathrm{~d} y
$$

与路径无关.
( I ) 求 $\varphi(t)$;
(II) 设 $L$ 为从 $O(0,0)$ 到 $A(a, a)$ 的一条分段光滑曲线, 计算 $I(a)$;
(III) 求 $I(a)$ 的最值.