一、单选题 （共 20 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
设函数 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处可微, $f(0,0)=0, n=\left.\left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y},-1\right)\right|_{(0,0)}$ 且非零向量 $d$ 与 $n$ 垂直，则（）
$\text{A.}$ $\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{|\boldsymbol{n} \cdot(x, y, f(x, y))|}{\sqrt{x^2+y^2}}=0$ 存在
$\text{B.}$ $\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{|\boldsymbol{n} \times(x, y, f(x, y))|}{\sqrt{x^2+y^2}}=0$ 存在
$\text{C.}$ $\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{|\boldsymbol{d} \cdot(x, y, f(x, y))|}{\sqrt{x^2+y^2}}=0$ 存在
$\text{D.}$ $\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{|\boldsymbol{d} \times(x, y, f(x, y))|}{\sqrt{x^2+y^2}}=0$存在
设 $R$ 为幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n r^n$ 的收敛半径, $r$ 是实数, 则 ( )
$\text{A.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} a_n r^n$ 发散时, $|r| \geq R$
$\text{B.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} a_n r^n$ 发散时, $|r| \leq R$
$\text{C.}$ $|r| \geq R$ 时, $\sum_{n=1}^{\infty} a_n r^n$ 发散
$\text{D.}$ $|r| \leq R$ 时, $\sum_{n=1}^{\infty} a_n r^n$ 发散
下列级数中条件收敛的是
$\text{A.}$ $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)$
$\text{B.}$ $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^n+1}{\ln n}$
$\text{C.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n(n+1)}$
$\text{D.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n \ln (1+n)}$
设级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n x^n$ 在 $x=1$ 处条件收敛, 且 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}=a$ 存在, 则
$\text{A.}$ $a=1$.
$\text{B.}$ $a=-1$.
$\text{C.}$ $a < 1$
$\text{D.}$ $a>1$.
设 $f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\sin ^n x+\cos ^n x}\left(0 \leqslant x \leqslant \frac{\pi}{2}\right)$, 若 $F(x)$ 为 $f(x)$ 在 $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 内的原 函数, 则在 $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 内
$\text{A.}$ $F(x)$ 连续, $f(x)$ 可导.
$\text{B.}$ $F(x)$ 不连续, $f(x)$ 不可导.
$\text{C.}$ $F(x)$ 可导, $f(x)$ 可导.
$\text{D.}$ $F(x)$ 可导, $f(x)$ 不可导.
设 $a_0=1, \sum_{n=0}^{\infty} 2 a_n x^{n+1}+\sum_{n=0}^{\infty}(n+1) a_{n+1} x^n=0$, 则级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n=\quad$ ）
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ e
$\text{C.}$ $-1$.
$\text{D.}$ $\mathrm{e}^{-1}$.
设 $k>1$, 则级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{\sqrt{k n}+(-1)^n}$ 的敛散性为
$\text{A.}$ 绝对收敛.
$\text{B.}$ 条件收敛.
$\text{C.}$ 发散.
$\text{D.}$ 收敛性与 $k$ 的取值有关.
若正项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 收敛, 则下列级数 (1) $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n a_n$; (2) $\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n-2 a_{n+1}\right)$; (3) $\sum_{n=1}^{\infty} \sqrt{a_n}$;
(4) $\sum_{n=1}^{\infty} \sqrt{a_n a_{n+1}}$ 中一定收敛的个数为
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
设有函数序列 $f_n(x)=(n+1) x^n, 0 < x < 1, n=1,2, \cdots$, 下列四个结论:
(1) $\lim _{n \rightarrow \infty} f_n(x)=0, x \in(0,1)$; (2) 若数列 $x_n \in(0,1)$, $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n$ 存在, 则 $\lim _{n \rightarrow \infty} f_n\left(x_n\right)=0$;
(3) $\lim _{n \rightarrow \infty} f_n^{\prime}(x)=0, x \in(0,1)$; (4) $\lim _{n \rightarrow \infty} \int_0^1 f_n(x) \mathrm{d} x=0$ 中, 正确的是
$\text{A.}$ (1) 和 (2)
$\text{B.}$ (3) 和 (4)
$\text{C.}$ (1) 和 (3)
$\text{D.}$ (2) 和 (4)
设积分 $I=\int_0^{+\infty} \frac{1}{\left(1+x^a\right) \ln \left(1+x^b\right)} \mathrm{d} x$, 其中 $a>0, b>0$, 若该积分收敛, 则必有
$\text{A.}$ $0 < a < 1,0 < b < 1$
$\text{B.}$ $0 < a < 1, b>1$
$\text{C.}$ $a>1,0 < b < 1$
$\text{D.}$ $a>1, b>1$
设有函数序列 $f_n(x)=(n+1) x^n, 0 < x < 1, n=1,2, \cdots$, 下列四个结论:
(1) $\lim _{n \rightarrow} f_n(x)=0, x \in(0,1)$; (2) 若数列 $x_n \in(0,1), \lim _{n \rightarrow} x_n$ 存在, 则 $\lim _{n \rightarrow} f_n\left(x_n\right)=0$;
(3) $\lim _{n \rightarrow \infty} f_n^{\prime}(x)=0 \cdot x \in(0.1)$; (4) $\lim _{n \rightarrow} \int_0^1 f_n(x) \mathrm{d} x=0$ 中, 正确的是
$\text{A.}$ (1) 和 (2)
$\text{B.}$ (3) 和 (4)
$\text{C.}$ (1) 和 (3)
$\text{D.}$ (2) 和 (4)
设积分 $I=\int_0^{+\infty} \frac{1}{\left(1+x^a\right) \ln \left(1+x^b\right)} \mathrm{d} x$, 其中 $a>0, b>0$, 若该积分收敛, 则必有
$\text{A.}$ $0 < a < 1,0 < b < 1$
$\text{B.}$ $0 < a < 1, b>1$
$\text{C.}$ $a>1,0 < b < 1$
$\text{D.}$ $a>1, b>1$
设有数列 $\left\{x_n\right\}$ ，满足 $-\frac{\pi}{2} \leq x_n \leq \frac{\pi}{2}$ ，则（）
$\text{A.}$ 若 $\lim _{n \rightarrow \infty} \cos \left(\sin x_n\right)$ 存在，则 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n$ 存在
$\text{B.}$ 若 $\lim _{n \rightarrow \infty} \sin \left(\cos x_n\right)$ 存在，则 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n$ 存在
$\text{C.}$ 若 $\lim _{n \rightarrow \infty} \cos \left(\sin x_n\right)$ 存在，则 $\lim _{n \rightarrow \infty} \sin x_n$ 存在，但 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n$ 不一定存在
$\text{D.}$ 若 $\lim _{n \rightarrow \infty} \sin \left(\cos x_n\right)$ 存在，则 $\lim _{n \rightarrow \infty} \cos x_n$ 存在，但 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n$ 不一定存在
已知 $a_n < b_n(n=1,2, \cdots)$ ，若级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 与 $\sum_{n=1}^{\infty} b_n$ 均收敛，则 " $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 绝对收敛 "是 " $\sum_{n=1}^{\infty} b_n$ 绝对收敛"的( )
$\text{A.}$ 充分必要条件
$\text{B.}$ 充分不必要条件
$\text{C.}$ 必要不充分条件
$\text{D.}$ 既不充分也不必要条件
已知 $\left\{x_n\right\},\left\{y_n\right\}$ 满足:
$$
x_1=y_1=\frac{1}{2}, x_{n+1}=\sin x_n, y_{n+1}=y_n^2(n=1,2, \cdots)
$$
则当 $n \rightarrow \infty$ 时，（）
$\text{A.}$ $x_n$ 是 $y_n$ 的高阶无穷小
$\text{B.}$ $y_n$ 是 $x_n$ 的高阶无穷小
$\text{C.}$ $x_n$ 与 $y_n$ 是等价无穷小
$\text{D.}$ $x_n$ 与 $y_n$ 是同阶但不等价的无穷小
已知 $a_n < b_n(n=1,2, \cdots)$ ，若级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 与 $\sum_{n=1}^{\infty} b_n$ 均收敛，则 " $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 绝对收敛 "是 " $\sum_{n=1}^{\infty} b_n$ 绝对收敛"的( )
$\text{A.}$ 充分必要条件
$\text{B.}$ 充分不必要条件
$\text{C.}$ 必要不充分条件
$\text{D.}$ 既不充分也不必要条件
已知幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ 的和函数为 $\ln (2+x)$ ，则 $\sum_{n=1}^{\infty} n a_{2 n}=$
$\text{A.}$ $-\frac{1}{6}$
$\text{B.}$ $-\frac{1}{3}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{6}$
$\text{D.}$ $\frac{1}{3}$
已知数列 $\left\{a_n\right\}\left(a_n \neq 0\right)$ ，若 $\left\{a_n\right\}$ 发散，则（ ）
$\text{A.}$ $\left\{a_n+\frac{1}{a_n}\right\}$ 发散
$\text{B.}$ $\left\{a_n-\frac{1}{a_n}\right\}$ 发散
$\text{C.}$ $\left\{\mathrm{e}^{a_n}+\frac{1}{\mathrm{e}^{a_n}}\right\}$ 发散
$\text{D.}$ $\left\{\mathrm{e}^{a_n}-\frac{1}{\mathrm{e}^{a_n}}\right\}$ 发散
已知幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ 的和函数为 $\ln (2+x)$ ，则 $\sum_{n=1}^{\infty} n a_{2 n}=$ ( )
$\text{A.}$ $-\frac{1}{6}$
$\text{B.}$ $-\frac{1}{3}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{6}$
$\text{D.}$ $\frac{1}{3}$
已知 $\left\{a_n\right\}$ 为数列, 且对任意正整数 $n, a_{n+1}-a_n \neq 0$, 则下列命题中, 正确的是
$\text{A.}$ 若 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n+1}-a_n\right)$ 收敛, 则 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 收敛.
$\text{B.}$ 若 $\sum_{n=1}^{\infty} n\left(a_{n+1}-a_n\right)$ 收敛, 则 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 收敛.
$\text{C.}$ 若 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n+1}-a_n\right)$ 发散, 则 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 发散.
$\text{D.}$ 若 $\sum_{n=1}^{\infty} n\left(a_{n+1}-a_n\right)$ 发散, 则 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 发散.
二、填空题 （共 20 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} n\left(\frac{\sin \frac{\pi}{n}}{n^2+1}+\frac{\sin \frac{2 \pi}{n}}{n^2+2}+\cdots+\frac{\sin \frac{n \pi}{n}}{n^2+n}\right)=$
已知 $f(x)=\frac{(x-1)(x-2) \cdots(x-n)}{(x+1)(x+2) \cdots(x+n)}$, 则 $f^{\prime}(1)=$
已知级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n !}{n^n} e^{-n x}$ 的收敛域为 $(a,+\infty)$, 则 $a=$
$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \sqrt{1+\frac{i}{n}}=$
设 $f(x)$ 是周期为 $2 \pi$ 的周期函数, 且当 $x \in(-\pi, \pi)$ 时, $f(x)=x \sin x$. 若 $f(x)=\frac{a_0}{2}+$ $\sum_{n=1}^{\infty} a_n \cos n x$, 则 $\sum_{n=2}^{\infty} a_n=$
设 $\alpha>0$, 若级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^\alpha}{\alpha^n}$ 和级数 $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n \ln ^{3-\alpha} n}$ 均收敛,则 $\alpha$ 的取值范围为
$y=2^x$ 的麦克劳林公式中 $x^n$ 项的系数是
幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{2 n-1}}{2 n-1}$ 的和函数是 $S(x)=$
幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(2 n+1) !} x^{2 n+1}$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内的和函数 $S(x)=$
幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2 n-1}{2^n} x^{2 n-2}$ 的收敛域为?
将幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n \frac{n}{2^n}(x-4)^{n-1}$ 展开为 $x$ 的幂级数为
极 限 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left[\frac{\sec \frac{1}{n}}{n+1}+\frac{\sec \frac{2}{n}}{\left(n^2+1\right)^{\frac{1}{2}}}+\cdots+\frac{\sec \frac{n}{n}}{\left(n^n+1\right)^{\frac{1}{n}}}\right]=$
给定三个幂级数 $u=1+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^6}{6!}+\cdots$
$$
v=x+\frac{x^4}{4!}+\frac{x^7}{7!}+\cdots, w=\frac{x^2}{2!}+\frac{x^5}{5!}+\frac{x^8}{8!}+\cdots $$
则 $u^3+v^3+w^3-3 u v w-1=$
幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x-1)^{n+1}}{3^n}$ 的收敛域为
函数 $\cos x$ 在 $x=\frac{\pi}{2}$ 处的幂级数展开为
幂级数 $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k-1}}{(2 k-1)!} x^{2 k}$ 的和函数 $S(x)=$
$\int_0^1 x\left(1-\frac{x^2}{1!}+\frac{x^4}{2!}-\frac{x^6}{3!}+\cdots\right) \mathrm{d} x=$
已知 $f(x)=x^2-x, 0 \leq x \leq 1$, 记 $S(x)=\sum_{n=1}^{\infty} b_n \sin n \pi x$ ，其中 $b_n=2 \int_0^1 f(x) \sin n \pi x \mathrm{~d} x, n=1,2, \cdots$ ，则当 $x \in(1,2)$ 时， $S(x)=$
讨论级数 $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n-1}}{\ln ^2 n}$ 收敛性。
求幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^3}{3^n}(x-1)^n$ 的收敛半径与收敛区间。