一、解答题 （ 共 31 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
设 $f(x, y)=\sqrt[3]{x^2 y}$, 问 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 点
( 1$)$ 是否连续?
( 2 ) 偏导数是否存在?
( 3 ) 是否可微?
函数 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上有一阶连续导数, 且对任意的 $x \in(0,+\infty)$满足 $x \int_0^1 f(t x) d t=2 \int_0^x f(t) d t+x f(x)+x^3$, 且 $f(1)=0$, 求 $f(x)$.
水平放置着一根长为 $L$, 密度为 $\rho$ 的均匀细棒, 在其左端的垂线上与棒相距 $b$ 处有一质量为 $m$ 的质点, 求棒对质点的引力沿 $x$ 轴方向的分力 (设引力常数为 $k$ ).
设方程: $\left\{\begin{array}{l}x=3 t^2+2 t \\ y=e^y \sin t+1\end{array}\right.$, 求 $\left.\frac{d y}{d x}\right|_{t=0}$ 。
设函数 $y=y(x)$ 由方程 $x^3+y^3-3 x+3 y-2=0$ 确定, 求函数 $y=y(x)$ 在 $x=1, y=1$处的一阶导数值、二阶导数值。
设 $y=e^{f(\sin 2 x)}$, 其中 $f$ 具有二阶导数, 求 $\frac{d y}{d x}, \frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{~d} x^2}$ 。
设函数 $y=y(x)$ 由参数方程 $\left\{\begin{array}{l}x=t^2+7 \\ y=t^2+4 t+1\end{array}\right.$ 所确定, 求 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}, \frac{d^2 y}{d x^2}$ 。
考察函数 $y=\frac{x^2+3 x+2}{2(x-1)}$ 的铅直渐近线、水平渐近线、斜渐近线。
某产品的需求量 $Q$ 对价格 $P$ 的函数是 $Q=200-P$, 设成本 $C$ 是 $Q$ 的函数: $C=C(Q)$, 已知平均成本为 $\bar{C}(Q)=Q+4$, 欲使利润最大, 价格应定为多少?
设 $\left\{\begin{array}{l}x=1+t^2 \\ y=1+t^3\end{array}\right.$, 求 $\frac{d y}{d x}, \frac{d^2 y}{d x^2}$.
求函数 $y=\ln \left(x^2+1\right)$ 的图形的拐点和凹凸区间
设函数 $y=y(x)$ 由方程 $x=\int_1^{y+x} e^{-u^2} d u$ 所确定, 求 $y(0), y^{\prime}(0)$ 和 $y^{\prime \prime}(0)$
设 $f(x)$ 有二阶连续导数, 在 $x=0$ 的去心邻域内 $f(x) \neq 0, \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=0, \lim _{x \rightarrow 0}\left[1+x+\frac{f(x)}{x}\right]^{\frac{1}{x}}=e^3$,求 $f^{\prime \prime}(0)$ 及 $\lim _{x \rightarrow 0}\left[1+\frac{f(x)}{x}\right]^{\frac{1}{x}}$
过点 $(1,0)$ 作抛物线 $y=\sqrt{x-2}$ 的切线. (1) 求该切线方程; (2) 求由这条切线、抛物线及 $x$ 轴所围成的平面图形面积; (3) 求 (2) 中平面图形绕 $x$ 轴旋转一周所得旋转体体积.
设 $f(x)=\sqrt{x-\ln (1+x)}, x \in[0,+\infty)$, 求 $f^{\prime}(0)$ 和 $f^{\prime \prime}(0)$.
求由曲线 $ y=2 x, x y=2, y=\frac{x^2}{4} $ 所围成平面图形的面积.
求 $y=x^{\sin x}(x>0)$ 的导数 $y^{\prime}(x)$.
设 $y=y(x)$ 是由方程 $\mathrm{e}^{-y}-y+\int_0^x\left(\mathrm{e}^{-t^2}+1\right) \mathrm{d} t=1$ 所确定的隐函数.
(1) 证明 $y(x)$ 是单调增加函数;
（2）当 $x \rightarrow+\infty$ 时, 曲线 $y^{\prime}(x)$ 是否有水平渐近线, 若有, 求出其渐近线方程, 若没有, 说明理由.
设 $f(x)$ 在 $x=0$ 存在二阶导数，且
$$
\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{\sin x}{x^3}+\frac{f(x)}{x^2}\right)=0 .
$$
求 $f^{\prime}(0), f^{\prime \prime}(0)$.
应用三阶泰勒公式求 $\sin 18^{\circ}$ 的近似值, 并估计误差.
设 $f(x)=\frac{x^5}{(1-x)(1+x)}$, 求 $f^{(9)}(0)$.
若曲线 $y=x^2+a x+b$ 与 $2 y=x y^3-1$ 在点 $(1,-1)$ 处相切, 求常数 $a, b$.
设 $f(x)$ 为连续函数, 且满足 $f(x)=x^2-x \cdot f(2)+2 \int_0^1 f(x) \mathrm{d} x$ ，求 $f(x)$.
求函数 $y(x)=\frac{x \int_0^{\frac{1}{x}}\left(\mathrm{e}^t+\tan t\right)^{\frac{1}{(1+t)} \mathrm{d} t}}{\sin \frac{1}{x}}$ 的斜渐近线方程.
$p^2>4 q, q \neq 0, y=\frac{1}{x^2+p x+q} \text {, 求 } y^{(n)}$
设函数 $f(x)=x \ln \left(1-x^2\right)$ ，求 $f^{(11)}(0)$
设 $f(x)=\tan x \cdot \tan (2 x) \cdot \ldots \cdot \tan (2022 x)$, 求 $f^{(2024)}(0)$.
要制作一个体积为 $V$ 的圆柱形无盖铁桶, 问如何确定其底面半径和高才能用料最省?
设函数 $f$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上有连续二阶导数, 且满足方程
$$
x f^{\prime}(x)=f(x)+140 x^6 \text { 。 }
$$
(1) 求 $f(x)$ 的表达式;
(2) 问曲线 $y=f(x)$ 是否有拐点? 请说明理由。
(3) 是否存在函数 $f$, 它在开区间 $(0,1)$ 上大于零, 并满足上面的方程, 且曲线 $y=f(x)(x \in[0,1])$ 与直线 $x=1$ 和 $y=0$ 所围的图形 $D$ 的面积为 2 ? 请说明理由。
求函数 $y=\frac{2 x}{1+x^2}$ 的极值与拐点.
设 $f(x)$ 在 $[0,2]$ 上连续, 在 $(0,2)$ 可导, 且 $2 f(0)=\int_0^2 f(x) d x$ 。 证明:
(1) $\exists \eta \in(0,2)$, 使 $f(\eta)=f(0)$;
(2) 对任意实数 $\lambda, \exists \xi \in(0,2)$, 使 $f^{\prime}(\xi)+\lambda(f(\xi)-f(0))=0$