一、解答题 （ 共 40 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
试确定方程 $\mathrm{e}^x=a x^2(a>0)$ 的实根个数.
设 $f(x), g(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续, 在 $(a, b)$ 内可导, 且 $g(a)=g(b)=1, f^{\prime}(x) \neq 0$. 试证存在 $\xi, \eta \in(a, b)$, 使得 $\frac{f^{\prime}(\xi)}{f^{\prime}(\eta)}=\mathrm{e}^{\xi-\eta}\left[g(\xi)+g^{\prime}(\xi)\right]$
对函数 $y=\frac{x+1}{x^2}$ 填写下表:
证明当 $x>0$ 时, $\ln \left(x+\sqrt{1+x^2}\right) < \sqrt{1+x^2} \arctan x$.
设函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上可导，满足:
$$
f(a)=f(b)=0, f_{+}^{\prime}(a) \cdot f_{-}^{\prime}(b)>0 .
$$
证明: 至少存在不同的两点 $\xi, \eta \in[a, b]$ ，使得
$$
f^{\prime}(\xi)=f^{\prime}(\eta)=0 .
$$
设函数 $f_1(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上可积， $A$ 是一个给定实数，且 $f_{n+1}(x)=A+\int_a^x f_n(t) \mathrm{d} t$ ，其中 $x \in[a, b], n=1,2, \cdots$.
(1) 证明: 函数列 $\left\{f_n(x)\right\}$ 在 $[a, b]$ 上一致收敛.
(2) 记 $\left\{f_n(x)\right\}$ 极限函数为 $f(x)$ ， 证明: $f(x)$ 在 $[a, b]$ 可微.
设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续单调增加，证明:
$$
\int_a^b x f(x) \mathrm{d} x \geq \frac{a+b}{2} \int_a^b f(x) \mathrm{d} x .
$$
设
$
f(x, y)=\left\{\begin{array}{rr}
\left( x^2+y^2\right) \sin \frac{1}{x^2+y^2},(x, y) \neq(0,0) \\
0 ,(x, y)=(0,0)
\end{array} .\right.
$
证明:
(1) $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处连续;
(2) $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处存在偏导数;
(3) $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处的偏导数不连续；
(4) $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处可微.
证明: 当 $x \geqslant 0$ 时, 存在 $\theta(x) \in(0,1)$, 使得 $\frac{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}{\sqrt{x+\theta(x)}}=2$, 且 $\theta(x)$ 满足:
( I ) $\frac{1}{4} \leqslant \theta(x) < \frac{1}{2} ;$
(II) $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \theta(x)=\frac{1}{4}, \lim _{x \rightarrow+\infty} \theta(x)=\frac{1}{2}$.
设函数 $f(x)$ 在闭区间 $[0,1]$ 上连续，在开区间 $(0,1)$ 内可导，且
$$
f(0)=f(1)=0, f\left(\frac{1}{2}\right)=1 .
$$
证明: 必定存在 $\xi \in(0,1)$ ，使得 $f^{\prime}(\xi)=1$.
设 $D=\{(x, y): 0 < x < 1,0 < y < +\infty\}$ ，证明：对任意的 $(x, y) \in D$ ，成立不等式: $y \cdot x^y \cdot(1-x) < \frac{1}{e}$.
证明: 若 $f(x, y)$ 在区域 $D$ 上分别对每个自变量 $x$ 和 $y$ 都连续，并且对 $x$ 是单调的，则函数 $f(x, y)$ 在区域 $D$ 内为连续函数.
已知函数 $f(x)$ 在 $[a, b](a>0)$ 上连续, 在 $(a, b)$ 内可导, 且 $f(a)=0, f(b)=1$. 证明:
(I) 存在 $c \in(a, b)$, 使得 $f(c)=\frac{a}{a+b}$;
(II) 存在两个不同的点 $\xi, \eta \in(a, b)$ 使得 $\frac{a}{f^{\prime}(\xi)}+\frac{b}{f^{\prime}(\eta)}=b^2-a^2$.
(1) 已知 $\lim _{x \rightarrow+\infty}[f(x)-(a x+b)]=0$.求 $a, b$.
(2) 设函数 $f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上一致连续，设函数 $g(x)$在 $[a,+\infty)$ 上连续，且 $\lim _{x \rightarrow+\infty}[f(x)-g(x)]=0$. 证明: 函数 $g(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上一致连续.
(3) 用 (2) 的结论说明: $f(x)=\frac{1}{x}+\ln \left(1+e^x\right)$ 在区间 $[1,+\infty)$ 上一致连续.
(4) 设函数 $f(x)$ 在区间 $(-\infty,+\infty)$ 上可导，且存在常数 $a_1, a_2, b_1, b_2,\left(a_1 < a_2\right)$ ，使得
$$
\begin{aligned}
& \lim _{x \rightarrow-\infty}\left[f(x)-\left(a_1 x+b_1\right)\right]=0 \\
& \lim _{x \rightarrow+\infty}\left[f(x)-\left(a_2 x+b_2\right)\right]=0
\end{aligned}
$$
证明：对任意的 $c \in\left(a_1, a_2\right)$ ，存在 $\xi \in(-\infty,+\infty)$ ，使得
$$
f^{\prime}(\xi)=c .
$$
试证: $x>\sin x>x-\frac{x^3}{6},(x>0)$
设 $0 < x < \frac{\pi}{2}$, 证明:
( I ) 函数 $f(x)=\frac{\ln \left(x+\sqrt{x^2+1}\right)}{\sin x}$ 单调递增;
( II ) $\ln \left(x+\sqrt{x^2+1}\right)>\sin x$.
设周期函数 $f(x)=(-1)^{[x]}\left|x-\left[x+\frac{1}{2}\right]\right|$, 其中 $[x],\left[x+\frac{1}{2}\right]$ 分别表示不超过 $x, x+\frac{1}{2}$的最大整数,记 $a_n=\int_0^1 \frac{f(n x)}{x} \mathrm{~d} x$. 证明:
(I) 数列 $\left\{a_{2 n-1}\right\}$ 单调减少, $\left\{a_{2 n}\right\}$ 单调增加;
(II) $\lim _{n \rightarrow \infty} a_n$ 存在.
证明：
$$
\lim _{h \rightarrow 0^{+}} \int \frac{h}{h^2+x^2} \ln \left(x^2+2\right) \mathrm{d} x=\frac{\pi}{2} \ln 2
$$
若 $f(x)$ 为 $[0,1]$ 上的单调增加的连续函数, 证明:
$$
\frac{\int_0^1 x f^3(x) d x}{\int_0^1 x f^2(x) d x} \geq \frac{\int_0^1 f^3(x) d x}{\int_0^1 f^2(x) d x}
$$
设函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上有二阶导数，且
$$
f^{(k)}(a)=f^{(k)}(b)=0,(k=0,1) .
$$
证明: 存在 $\xi \in(a, b)$ ，使得 $f^{(2)}(\xi)=f(\xi)$.
证明极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} n \int_0^1 \frac{x^n}{1+x^n} \mathrm{~d} x=\ln 2$.
设 $0 < x < \frac{\pi}{2}$, 证明
(I) 函数 $f(x)=\frac{\ln \left(x+\sqrt{x^2+1}\right)}{\sin x}$ 单调递增;
(II) $\ln \left(x+\sqrt{x^2+1}\right)>\sin x$.
设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续, $\int_0^1 f(x) \mathrm{d} x=0$, 且对任意的 $x \in(0,1)$, $\int_0^x f(t) \mathrm{d} t \neq 0$, 证明在 $(0,1)$ 内存在一点 $\xi$, 使 $f(\xi)=\int_0^x f(t) \mathrm{d} t$.
(1) 设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，证明: $\int_a^b f(x) d x=\int_a^b f(a+b-x) d x$
(2) 在 (1) 的条件下，若 $x=\frac{a+b}{2}$ 为 $f(x)$ 的对称轴
证明: $\int_a^b x f(x) d x=\frac{a+b}{2} \int_a^b f(x) d x$
设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续， $(0,1)$ 内可导， $\left|f^{\prime}(x)\right| \leq 1, f(0)=f(1)$证明: $\forall x_1, x_2 \in[0,1],\left|f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)\right| \leq \frac{1}{2}$
对函数 $e^{x^2}$ 在 $[0, x](x>0)$ 上应用积分中值定理，有 $\int_0^x e^{t^2} d t=x e^{\theta(x) x^2}$其中 $\theta(x) \in(0,1)$ ，计算 $\lim _{x \rightarrow+\infty} \theta(x)$
设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续, 在 $(a, b)$ 内可导且 $f^{\prime}(x) \neq 0$
证明: $\exists \xi, \eta \in(a, b)$ ，使得 $\frac{f^{\prime}(\xi)}{f^{\prime}(\eta)}=\frac{e^b-e^a}{b-a} e^{-\eta}$
将函数 $\tan x$ 在点 $x=0$ 处展为带皮亚诺余项的三阶泰勒公式.
设曲线段 $\widehat{A B}$ 是由函数 $y=f(x)$ 在 $x \in[0,1]$ 上给出, 其中 $A=(0, f(0)), B=$ $(1, f(1)), f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续可微. 证明: 在 $\overparen{A B}$ 上存在一点 $P(\xi, f(\xi)), \xi \in[0,1]$, 使得 $P$ 点处的切线 $L$ 夹在平行直线 $x=0$ 和 $x=1$ 之间的线段长度恰巧等于 $\overparen{A B}$ 的弧长.
设函数 $f(x)$ 可微, 曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1, f(1))$ 处的切线方程为 $y=x-1$, 求极限
$$
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_0^x \mathrm{e}^t f\left(1+\mathrm{e}^x-\mathrm{e}^t\right) \mathrm{d} t}{1-\sqrt{1+3 x^2}}
$$
设 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上连续, 记 $F(x)=\frac{1}{x} \int_0^x f(t) \mathrm{d} t$.
(1) 证明: 若对 $\forall a, b>0$, 有 $f\left(\frac{a+b}{2}\right) \leqslant \frac{1}{2}[f(a)+f(b)]$, 则必有
$$
F\left(\frac{a+b}{2}\right) \leqslant \frac{1}{2}[F(a)+F(b)]
$$
(2) 反之, 若对 $\forall a, b>0$, 有 $F\left(\frac{a+b}{2}\right) \leqslant \frac{1}{2}[F(a)+F(b)]$, 是否必有
$$
f\left(\frac{a+b}{2}\right) \leqslant \frac{1}{2}[f(a)+f(b)]
$$
请给出你的证明或反例.
设函数 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上可导, $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{f(x)}{x} < 1$ 且 $\int_0^1 f(x) \mathrm{d} x>\frac{1}{2}$. 证明：
(I) 存在 $\xi \in(0,+\infty)$, 使得 $f(\xi)=\xi$;
(II) 存在与 (I) 中 $\xi$ 相异的点 $\eta \in(0,+\infty)$, 使得 $f^{\prime}(\eta)=1$.
设数列满足条件: $\left|a_{n+1}-a_n\right| < r^n, n=1,2, \cdots$, 其中 $r \in(0,1)$.求证 $\left\{a_n\right\}$ 收敛.
对给定的 $y$ 值, 方程 $x-\alpha \cdot \sin x=y(0 < \alpha < 1)$ 有唯一解
设数列 $\left\{x_n\right\}$ 满足: $x_1>0, x_n e^{x_{n+1}}=e^{x_n}-1(n=1,2, \cdots)$ 证明: $\left\{x_n\right\}$ 收敛, 并求 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n$.
若 $f(x)$ 为 $[0,1]$ 上的单调增加的连续函数, 证明:
$$
\frac{\int_0^1 x f^3(x) d x}{\int_0^1 x f^2(x) d x} \geq \frac{\int_0^1 f^3(x) d x}{\int_0^1 f^2(x) d x} .
$$
证明: $\int_0^1\left(1+\sin \frac{\pi}{2} x\right)^n \mathrm{~d} x>\frac{2^{n+1}-1}{n+1} \quad(n=1,2, \cdots)$;
(2) 求极限 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left[\int_0^1\left(1+\sin \frac{\pi}{2} x\right)^n \mathrm{~d} x\right]^{\frac{1}{n}}$ 。
证明方程 $x=a \sin x+b$, 其中 $a>0, b>0$, 至少有一个正根, 并且它不超过 $a+b$.
证明方程 $x^3+2 x^2-4 x-1=0$ 有三个实根.
证明方程 $\sin x+x+1=0$ 在开区间 $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ 内至少有一个根.