设函数 $f_1(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上可积， $A$ 是一个给定实数，且 $f_{n+1}(x)=A+\int_a^x f_n(t) \mathrm{d} t$ ，其中 $x \in[a, b], n=1,2, \cdots$.
(1) 证明: 函数列 $\left\{f_n(x)\right\}$ 在 $[a, b]$ 上一致收敛.
(2) 记 $\left\{f_n(x)\right\}$ 极限函数为 $f(x)$ ， 证明: $f(x)$ 在 $[a, b]$ 可微.
$\text{A.}$
$\text{B.}$
$\text{C.}$
$\text{D.}$