一、填空题 （共 28 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
由方程 $y=\cos (x y)-x$ 所确定的隐函数为 $y=f(x)$, 求导数 $f^{\prime}(x)$.
设 $a>0, f(x)$ 在 $[0,2 a]$ 上连续, 且 $f(0)=f(2 a)$, 试证: 存在 $\xi \in[0, a]$, 使 $f(\xi)=f(\xi+a)$.
$\lim _{t \rightarrow 0^{+}} \frac{1}{t^3} \int_0^{\frac{\pi}{4}} \mathrm{~d} \theta \int_0^{\frac{t}{\cos \theta}} \frac{\sin \left(r^2 \sin \theta \cos \theta\right)}{\sin \theta} \mathrm{d} r=$
曲线 $\left\{\begin{array}{l}x=\arctan t \\ y=\ln \sqrt{1+t^2}\end{array}\right.$ 对应于 $t=1$ 处的法线方程为
曲线 $y=x \sin x+2 \cos x\left(-\frac{\pi}{2} < x < 2 \pi\right)$ 的拐点是
设 $a_n=\frac{3}{2} \int_0^{\frac{n}{n+1}} x^{n-1} \sqrt{1+x^n} \mathrm{~d} x$, 则 $\lim _{n \rightarrow \infty} n a_n=$
$y=x \ln \left(\mathrm{e}+\frac{1}{x^2}\right)$ 的斜渐近线为。
设两曲面 $S_1: 2 \pi x^2-2 \pi y^2+16 z^2=\pi^2, S_2: z=\arctan \frac{y}{x}$ 在第一卦限内的点 $P$ 处有公共切平面, 则此切平面的方程为
方程 $\arcsin x=k x$ 在 $x \in[0,1]$ 只有一个解, 那么 $k$ 的取值范围是
设 $f(x, y)$ 在 $(2,-2)$ 处可微，且满足:
$$
f(\sin x y+2 \cos x, x y-2 \cos y)=1+x^2+y^2+o\left(x^2+y^2\right)
$$
则曲面 $z=f(x, y)$ 过点 $(2,-2, f(2,-2))$ 处的切平面方程为
抛物线 $y=x^2-x$ 在点 $(1,0)$ 处的曲率是:
设函数 $f(x)$ 在 $x=1$ 的某一邻域内可微, 且满足
$
f(1+x)-3 f(1-x)=4+2 x+o(x),
$
其中 $o(x)$ 是当 $x \rightarrow 0$ 时 $x$ 的高阶无穷小, 则曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1, f(1))$ 处的切线方程为
设连续函数 $f(x)$ 满足 $f(x)+2 x \int_0^x f(x-t) \mathrm{d} t=x(x>0)$, 且 $f(1)=\frac{1}{\mathrm{e}}$, 则 $f(x)$ 的极大值点和极大值分别为
$\lim _{x \rightarrow 3} \dfrac{\sqrt{x^3+9}-6}{2-\sqrt{x^3-23}}=$
设曲线 $y=\ln (1+a x)+1$ 与曲线 $y=2 x y^3+b$ 在 $(0,1)$ 处相切,则 $a+b=$
设函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内有二阶连续导数, 证明: $f^{\prime \prime}(x) \geq 0$ 的充要条件是: 对不同实数 $a$, $b, f\left(\frac{a+b}{2}\right) \leq \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x) d x$.
曲线 $y=\frac{x^2+1}{\sqrt{x^2-1}}$ 的渐近线条数为
曲线 $y=(x-5) x^{\frac{2}{3}}$ 的拐点坐标为 ________ .
设函数 $f(x)=\mathrm{e}^x \cos x+\mathrm{e}^{-x} \sin x$, 则 $f^{(2023)}(0)=$
设函数 $y=f(x)$ 二阶可导, 且满足 $y^{\prime}=(5-y) y^a$, 其中常数 $a>0$, 点 $\left(x_0, 3\right)$ 为曲线 $y=f(x)$ 的拐点, 则 $a=$
求曲线 $y-x+e^y=0$ 在点 $x=1$ 处的切线方程
求曲线 $y=\frac{1+x}{1-e^{-x}}$ 的渐近线个数
在区间 $[0,1]$ 上, $f^{\prime \prime}(x)>0$ ，写出 $f^{\prime}(0), f^{\prime}(1), f(1)-f(0)$ 的大小关系
设函数 $y=f(x)$ 的参数方程为 $x=e^{-t}-1, y=t^2$ ，当 $-1 < x < 0$ 时，判断 $y=f(x)$ 的单调性和凹凸性
设函数 $y(x)$ 由参数方程 $\left\{\begin{array}{l}x=\ln \left(1+\mathrm{e}^t\right) \text {, } \\ y=-t^2+3\end{array}\right.$ 确定, 则曲线 $y=y(x)$ 在参数 $t=0$ 对应的点处的曲率 $k=$
设函数 $y=y(x)$ 由参数方程 $\left\{\begin{array}{l}x=\frac{3 t}{1+t^3}, \\ y=\frac{3 t^2}{1+t^3}\end{array}\right.$ 确定, 则曲线 $y=y(x)$ 的斜渐近线方程为
设 $f_0(x), f_1(x)$ 是 $[0,1]$ 上的正值连续函数，满足:
$$
\begin{array}{r}
\int_0^1 f_0(x) \mathrm{d} x \leq \int_0^1 f_1(x) \mathrm{d} x . \\
\text { 设 } f_{n+1}=\frac{2 f_n^2(x)}{f_n(x)+f_{n-1}(x)},(n=1,2, \cdots) .
\end{array}
$$
证明: 序列 $a_n=\int_0^1 f_n(x) \mathrm{d} x,(n=1,2, \cdots)$ 单调递增且收敛.
(1) $a_{n+1}-a_n=e^{-a_n}, a_0=1$, 证明 $a_n-\ln n$ 收敛.
(2) 设 $f(x)$ 为单调递增函数, 且 $f^{\prime}(x)$ 有界,
$$
f(\mathbf{0})=\mathbf{0}, \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=+\infty .
$$
设 $\boldsymbol{F}(x)=\int_0^x f(x) \mathrm{d} x$ ，数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足:
$$
a_0=1, a_{n+1}=a_n+\frac{1}{f\left(a_n\right)}, b_n=F^{-1}(n) .
$$
证明: $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(a_n-b_n\right)=\mathbf{0}$.