考研数学《微积分》专项训练来源微信公众号-高度数学-Kmath科数- 中考、高考、考验数学题库

设 $a_n=\frac{3}{2} \int_0^{\frac{n}{n+1}} x^{n-1} \sqrt{1+x^n} \mathrm{~d} x$, 则 $\lim _{n \rightarrow \infty} n a_n=$

答案：

解: 根据题意有
$$
\begin{aligned}
a_n & =\frac{3}{2} \int_0^{\frac{n}{n+1}} x^{n-1} \sqrt{1+x^n} \mathrm{~d} x=\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{n} \int_0^{\frac{n}{n+1}}\left(1+x^n\right)^{\frac{1}{2}} \mathrm{~d}\left(1+x^n\right) \\
& =\left.\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{n} \cdot \frac{2}{3}\left(1+x^n\right)^{\frac{3}{2}}\right|_0 ^{\frac{n}{n+1}}=\frac{1}{n}\left\{\left[1+\left(\frac{n}{n+1}\right)^n\right]^{\frac{3}{2}}-1\right\} .
\end{aligned}
$$
由 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{n+1}{n}\right)^n=\mathrm{e}$, 知 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{n}{n+1}\right)^n=\frac{1}{\mathrm{e}}$, 故
$$
\lim _{n \rightarrow \infty} n a_n=\lim _{n \rightarrow \infty}\left\{\left[1+\left(\frac{n}{n+1}\right)^n\right]^{\frac{3}{2}}-1\right\}=\left(1+\mathrm{e}^{-1}\right)^{\frac{3}{2}}-1
$$

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