设 $a > 0, f(x)$ 在 $[0,2 a]$ 上连续, 且 $f(0)=f(2 a)$, 试证: 存在 $\xi \in[0, a]$, 使 $f(\xi)=f(\xi+a)$.
【答案】 证明 设 $F(x)=f(x)-f(x+a)$, 由 $f(x)$ 在 $[0,2 a]$ 上连续, 有 $F(x)$ 在 $[0, a]$ 上连续. 又
$$
F(0)=f(0)-f(a), F(a)=f(a)-f(2 a)=f(a)-f(0)=-F(0) .
$$
(1) 若 $F(0)=0$, 即 $f(0)=f(a)$, 则取 $\xi=0$ 或 $\xi=a$ 就有 $f(\xi)=f(\xi+a)$.
(2) 若 $F(0) \neq 0$, 则 $F(0) F(a)=-F^2(0) < 0$, 又 $F(x)$ 在 $[0, a]$ 上连续, 故由零点 定理可得,存在 $\xi \in(0, a)$, 使得 $f(\xi)=f(\xi+a)$.
综上可得, 存在 $\xi \in[0, a]$, 使得 $f(\xi)=f(\xi+a)$.


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