一、解答题 （ 共 40 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
求 $$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\left(\int_0^x e^{t^2} d t\right)^2}{\int_0^x t e^{2 t^2} d t}$$
设 $f(x)$ 二阶可导并且 $f(x)$ 具有反函数 $f^{-1}(x), f(0)=0, f^{\prime}(0)=1$, 求 $\lim _{x \rightarrow 0}\left[\frac{1}{f(x)}-\frac{1}{f^{-1}(x)}\right]$
设 $y=f(x)$ 在 $[0,1]$ 上非负连续, $a \in(0,1)$, 且 $f(x)$ 在 $[0, a]$ 上的平均值等于在 $[a, 1]$ 上以 $f(a)$ 为高的矩形面积. 试证明: (I ) 存在点 $\xi \in(0, a)$ 内使得 $f(\xi)=f(a)(1-a)$; (II) 存在 $\eta \in(0,1)$ 使得 $(\xi-a) f^{\prime}(\eta)=-a f(a)$.
$$
f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}
x y \sin \frac{1}{x^2+y^2}, & x^2+y^2 \neq 0 \\
0, & x^2+y^2=0
\end{array} ;\right.
$$
证明:
(1) $\lim _{t \rightarrow 0^{+}} f(t \cos \alpha, t \sin \alpha)=f(0,0)$;
(2) $\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} f(x, y)=f(0,0)$.
设 $f(x)$ 是仅有正实根的多项式函数，满足
$$
\frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}=-\sum_{n=0}^{+\infty} c_n x^n
$$
证明: $c_n>0(n \geq 0)$, 极限 $\lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{1}{\sqrt[n]{c_n}}$ 存在，且等于 $f(x)$ 的最小根.
设 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上具有连续导数，满 足 $3\left[3+f^2(x)\right] f^{\prime}(x)=2\left[1+f^2(x)\right]^2 e^{-x^2}$ ，且 $f(0) \leq 1$. 证明：存在常数 $M>0$ ，使得 $x \in[0,+\infty)$ 时，恒有 $|f(x)| \leq M$
求 $\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{\ln \left(x+\sqrt{1+x^2}\right)}{x}\right)^{\frac{1}{\ln ^2(1+x)}}$.
设函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上具有一阶连续导数, 证 明: $\int_a^b \sqrt{1+\left[f^{\prime}(x)\right]^2} \mathrm{~d} x \geq \sqrt{(a-b)^2+[f(a)-f(b)]^2}$, 并给出等号成立的条件.
设 $f(x)=x^2 \cos ^2 x$, 求 $f^{(12)}(0)$.
设函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导, 且 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=1$, 若 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_0^x t f\left(x^2-t^2\right) d t}{x^a}=b(b \neq 0)$ 求 $a, b$ 的值.
设函数 $f(x) \in C[0, \pi]$, 满足 $\int_0^\pi f(x) d x=0$, 证明:
(1) 存在 $\xi \in(0, \pi)$, 使得 $f(\xi)=0$;
(2) 若同时还满足 $\int_0^\pi f(x) \cos x d x=0$, 则存在不同的 $\eta_1, \eta_2$ 使得 $f\left(\eta_1\right)=f\left(\eta_2\right)=0$.
证明: 若闭区间 $[a, b]$ 上的单调有界函数 $f(x)$ 能取到 $f(a)$ 与 $f(b)$ 之间的一切值，则 $f(x)$ 是闭区间 $[a, b]$ 上的连续函数.
求函数 $y=4 \mathrm{e}^{-x}\left(2 x^2+x+1\right)-5$ 的单调区间，极值，上凸区间Q与下凸区间， 以及拐点的横坐标。
设 $f(x)$ 是 $\mathbb{R}$ 上以 $T$ 为周期的周期函数Q，且连续，证明:
( I ) 函数 $F(x)=\int_0^x f(t) \mathrm{d} t-\frac{x}{T} \int_0^T f(t) \mathrm{d} t$ 是以 $T$ 为周期的周期函数；
(II) $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{1}{x} \int_0^x f(t) \mathrm{d} t=\frac{1}{T} \int_0^T f(t) \mathrm{d} t$ 。
设函数 $f(x)= \begin{cases}x^a \sin \frac{1}{x}, & x>0, \\ b, & x=0, \\ \frac{1-\cos x}{(-x)^{a-2}}, & x < 0\end{cases}$ 有连续的导函数, 求 a 的取值范围.
设 $f_n(x)=x n^{-x}(n=1,2, \cdots)$. 问 $\left\{f_n(x)\right\}$ 在 $[0,+\infty)$ 是否一致收敛.
设 $f(x)$ 在 $[1,+\infty)$ 连续可微, $\left|f^{\prime}(x)\right| \leq 1(x \geq 1)$. 求证 $\frac{f(x)}{x}$ 在 $[1,+\infty)$ 一致连续.
设函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上有连续的导函数且 $f(a)=0$ ，证明:
$$
\int_a^b\left|f(x) f^{\prime}(x)\right| \mathrm{d} x \leq \frac{b-a}{2} \int_a^b\left[f^{\prime}(x)\right]^2 \mathrm{~d} x .
$$
设 $f(x)$ 是 $[a, b]$ 上连续可导的函数， $f(a)=f(b)=0$.
证明:
$$
\int_a^b|f(x)| \mathrm{d} x \leq \frac{(b-a)^2}{4} \max _{a \leq x \leq b}\left|f^{\prime}(x)\right| .
$$
设 $f(x)=g(x)(\sqrt{x}-1)$, 其中 $g(x)$ 在点 $x=1$ 处连续且 $g(1)=2$, 求 $f^{\prime}(1)$.
求函数 $f(x)=x^4-4 x^3$ 的单调区间和极值.
设 $p$ 是某正整数， $I_n=\frac{1^p+2^p+\cdots+n^p}{n^p}-\frac{n}{p+1}$ ，试求 $\lim _{n \rightarrow \infty} I_n$.
已知函数 $f(x)$ 连续, 请讨论 $\int_0^{\frac{\pi}{2}} f(\sin x) d x$ 与 $\int_0^{\frac{\pi}{2}} f(\cos x) d x$ 的大小关系, 并计算定积分 $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\ln (1+\sqrt{\sin x})-\ln (1+\sqrt{\cos x})+\sin ^3 x}{2} d x$.
设函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上有连续二阶导，且 $f(a)=f(b)=0$ 。
证明: (1) $\int_a^b f(x) d x=\frac{1}{2} \int_a^b(x-a)(x-b) f^{\prime \prime}(x) d x$
(2) $\left|\int_a^b f(x) d x\right| \leqslant \frac{1}{12}(b-a)^3 \cdot \max _{x \in[a, b]}\left|f^{\prime \prime}(x)\right|$
设 $f(x)=\sum_{n=2}^{\infty} \frac{x^{n+1}}{n^2-1}$, 求 $f(x)$ 并讨论 $f(x)$ 的单调性.
求函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{x^2+2 x}{\left(e^x-1\right)(x+2)}, & x < 0 \\ \frac{x}{x-1}, & x \geq 0\end{array}\right.$ 的间断点, 并判断类型。
列表讨论函数 $y=x^{\frac{5}{3}}-5 x^{\frac{2}{3}}$ 的单调区间、极值点、凹凸区间及拐点。
试证: 当 $x \geqslant 0$ 时, $x \leqslant \mathrm{e}^x \ln (1+x)$.
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{(1+\tan x)^{\frac{1}{4}}+(1-\sin x)^{\frac{1}{4}}-2}{x^2}$.
设 $f(x)$ 为区间 $[a, b]$ 上定义的连续且黎曼可积函数，证明: $\lim _{\lambda \rightarrow+\infty} \int_a^b f(x) \sin (\lambda x) \mathrm{d} x=0$.
证明: 函数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n x}{1+n^5 x^2}$ 在 $[0,+\infty)$ 一致收敛.
设 $0 < x_1 < \frac{\pi}{4}$, 数列 $\left\{x_n\right\}$ 由方程 $x_n x_{n+1}=\left(\tan x_{n+1}\right)^2$ 确定,证明 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n$存在, 并求之.
问方程 $2 x^3-3 x^2+\frac{1}{2}=0$ 有几个实根？请说明理由。
下列陈述中, 哪些是对的, 哪些是错的? 如果是对的, 说明理由；如果是错的，试给出一个反例.
(1) 如果函数 $f(x)$ 在 $a$ 连续,那么 $|f(x)|$ 也在 $a$ 连续;
(2) 如果函数 $|f(x)|$ 在 $a$ 连续,那么 $f(x)$ 也在 $a$ 连续.
设
$$
f(x)= \begin{cases}x, & x \in \mathbf{Q} \\ 0, & x \in \mathbf{R} \backslash \mathbf{Q}\end{cases}
$$
证明: (1) $f(x)$ 在 $x=0$ 连续;
(2) $f(x)$ 在非零的 $x$ 处都不连续.
设 $f(x)$ 对任意实数 $x, y$, 有 $f(x+y)=f(x)+f(y)$, 且 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续, 证明: $f(x)$在 $\mathbf{R}$ 上连续。
设函数 $f(x)$ 与 $g(x)$ 在点 $x_0$ 连续,证明函数
$$
\varphi(x)=\max \{f(x), g(x)\}, \quad \psi(x)=\min \{f(x), g(x)\}
$$
在点 $x_0$ 也连续.
(1) $\lim _{x \rightarrow \infty} \mathrm{e}^{\frac{1}{x}}$;
(2) $\lim _{x \rightarrow 0} \ln \frac{\sin x}{x}$;
(3) $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{\frac{x}{2}}$;
(4) $\lim _{x \rightarrow 0}\left(1+3 \tan ^2 x\right)^{\cot ^2 x}$;
(6) $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+\tan x}-\sqrt{1+\sin x}}{x \sqrt{1+\sin ^2 x}-x}$;
设 $f(x)$ 在 $\mathbf{R}$ 上连续, 且 $f(x) \neq 0, \varphi(x)$ 在 $\mathbf{R}$ 上有定义, 且有间断点, 则下列陈述中,哪些是对的, 哪些是错的? 如果是对的, 试说明理由; 如果是错的, 试给出一个反例.
(1) $\varphi[f(x)]$ 必有间断点;
(2) $[\varphi(x)]^2$ 必有间断点;
(3) $f[\varphi(x)]$ 末必有间断点;
(4) $\frac{\varphi(x)}{f(x)}$ 必有间断点.
设函数
$$
f(x)= \begin{cases}\mathrm{e}^x, & x < 0 \\ a+x, & x \geqslant 0\end{cases}
$$
应当怎样选择数 $a$, 才能使得 $f(x)$ 成为在 $(-\infty,+\infty)$ 内的连续函数?