2024全国硕士研究生招生考试考研数学模拟试卷-Kmath科数- 中考、高考、考验数学题库

设 $f(x)$ 二阶可导并且 $f(x)$ 具有反函数 $f^{-1}(x), f(0)=0, f^{\prime}(0)=1$, 求 $\lim _{x \rightarrow 0}\left[\frac{1}{f(x)}-\frac{1}{f^{-1}(x)}\right]$

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答案：

解析:
由于 $f(0)=0, f^{\prime}(0)=1$, 所以 $x \rightarrow 0$ 时, $f(x) \sim x$, 所以 $x \rightarrow 0$ 时, $x \sim f^{-1}(x)$, 所以
$$
\begin{aligned}
\lim _{x \rightarrow 0}\left[\frac{1}{f(x)}-\frac{1}{f^{-1}(x)}\right] & =\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f^{-1}(x)-f(x)}{f(x) \cdot f^{-1}(x)}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f^{-1}(x)-f(x)}{x^2} \\
& =\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f^{-1}(x)-x+x-f(x)}{x^2}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f^{-1}(x)-x}{x^2}+\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x-f(x)}{x^2} \\
& =\frac{y=f^{-1}(x)}{\lim _{y \rightarrow 0} \frac{y-f(y)}{f^2(y)}+\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x-f(x)}{x^2}} \\
& =\lim _{y \rightarrow 0} \frac{y-f(y)}{y^2}+\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x-f(x)}{x^2}=-2 \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-x}{x^2} \\
& =-2 \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(0)-f^{\prime}(0) x}{x^2}=-2 \cdot \frac{f^{\prime \prime}(0)}{2}=-f^{\prime \prime}(0)
\end{aligned}
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