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偏导2

数学

本试卷总分150分,考试时间120分钟。

注意事项:

答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在本试卷上无效。

考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。

学校：_______________ 姓名：_____________ 班级：_______________ 学号：_______________

一、单选题（共 24 题），每题只有一个选项正确

1. 二元函数

f (x, y)

在点

(x_{0}, y_{0})

处两个偏导数

f_{x}^{'} (x_{0}, y_{0}), f_{y}^{'} (x_{0}, y_{0})

存在是

f (x, y)

在该点连续的

A.

充分条件而非必要条件.

B.

必要条件而非充分条件.

C.

充分必要条件.

D.

既非充分条件又非必要条件.

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2. 已知

\frac{(x + a y) d x + y d y}{(x + y)^{2}}

为某函数的全微分, 则

a

等于 ( )

A.

- 1

B.

C.

D.

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3. 二元函数

f (x, y) = {\begin{cases} \frac{x y}{x^{2} + y^{2}}, & (x, y) \neq (0, 0) \\ 0, & (x, y) = (0, 0) \end{cases}

在点

(0, 0)

处

A.

连续，偏导数存在

B.

连续，偏导数不存在

C.

不连续，偏导数存在

D.

不连续，偏导数不存在

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4. 设

f (x, y)

在点

(0, 0)

附近有定义，且

f_{x}^{'} (0, 0) = 3

，

f_{y}^{'} (0, 0) = 1

，则

A.

{d z |}_{(0, 0)} = 3 d x + d y

B.

曲面

z = f (x, y)

在

(0, 0, f (0, 0))

处的法向量为

(3, 1, 1)

C.

曲线

{\begin{cases} z = f (x, y) \\ y = 0 \end{cases}

在

(0, 0, f (0, 0))

处的切向量为

(1, 0, 3)

D.

曲线

{\begin{cases} z = f (x, y) \\ y = 0 \end{cases}

在

(0, 0, f (0, 0))

处的切向量为

(3, 0, 1)

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5. 考虑二元函数的下面 4 条性质:
(1)

f (x, y)

在点

(x_{0}, y_{0})

处连续，
(2)

f (x, y)

在点

(x_{0}, y_{0})

处的两个偏导数连续，
(3)

f (x, y)

在点

(x_{0}, y_{0})

处可微，
(4)

f (x, y)

在点

(x_{0}, y_{0})

处两个偏导数存在.

若用 "

P \Rightarrow Q

" 表示可由性质

P

推出

Q

，则有

A.

(2)

\Rightarrow

(3)

\Rightarrow

(1)

B.

(3)

\Rightarrow

(2)

\Rightarrow

(1)

C.

(3)

\Rightarrow

(4)

\Rightarrow

(1)

D.

(3)

\Rightarrow

(1)

\Rightarrow

(4)

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6. 设函数

u (x, y) = ϕ (x + y) + ϕ (x - y) + \int_{x - y}^{x + y} ψ (t) d t ，

其中函数

ϕ

具有二阶导数，

ψ

具有一阶导数，则必有

A.

\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} = - \frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}

B.

\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} = \frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}

C.

\frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}

D.

\frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}

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7. 设函数

u (x, y) = ϕ (x + y) + ϕ (x - y) + \int_{x - y}^{x + y} ψ (t) d t ，

其中函数

ϕ

具有二阶导数，

ψ

具有一阶导数，则必有

A.

\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} = - \frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}

B.

\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} = \frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}

C.

\frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}

D.

\frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}

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8. 设

f (x, y)

与

φ (x, y)

均为可微函数，且

φ_{y}^{'} (x, y) \neq 0

，已知

(x_{0}, y_{0})

是

f (x, y)

在约束条件

φ (x, y) = 0

下的一个极值点，下列选项正确的是

A.

若

f_{x}^{'} (x_{0}, y_{0}) = 0

，则

f_{y}^{'} (x_{0}, y_{0}) = 0

B.

若

f_{x}^{'} (x_{0}, y_{0}) = 0

，则

f_{y}^{'} (x_{0}, y_{0}) \neq 0

C.

若

f_{x}^{'} (x_{0}, y_{0}) \neq 0

，则

f_{y}^{'} (x_{0}, y_{0}) = 0

D.

若

f_{x}^{'} (x_{0}, y_{0}) \neq 0

，则

f_{y}^{'} (x_{0}, y_{0}) \neq 0

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9. 二元函数

f (x, y)

在点

(0, 0)

处可微的一个充分条件是

A.

lim_{(x, y) \to (0, 0)} [f (x, y) - f (0, 0)] = 0

B.

lim_{x \to 0} \frac{f (x, 0) - f (0, 0)}{x} = 0

，且

lim_{y \to 0} \frac{f (0, y) - f (0, 0)}{y} = 0

C.

lim_{(x, y) \to (0, 0)} \frac{f (x, y) - f (0, 0)}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}} = 0

D.

lim_{x \to 0} [f_{x}^{'} (x, 0) - f_{x}^{'} (0, 0)] = 0

，且

lim_{y \to 0} [f_{y}^{'} (0, y) - f_{y}^{'} (0, 0)] = 0

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10. 设函数

f

连续，若

F (u, v) = \iint_{D_{u v}} \frac{f (x^{2} + y^{2})}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}} d x d y

，其中

\begin{aligned} D_{u v} : x^{2} + y^{2} = 1, x^{2} + y^{2} = u^{2}, y = 0, y = x \arctan v \\ (u > 1, v > 0) ，则 \frac{\partial F}{\partial u} = \end{aligned}

A.

v f (u^{2})

B.

\frac{v}{u} f (u^{2})

C.

v f (u)

D.

\frac{v}{u} f (u)

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11. 已知

f (x, y) = e^{\sqrt{x^{2} + y^{4}}}

，则

A.

f_{x}^{'} (0, 0), f_{y}^{'} (0, 0)

都存在

B.

f_{x}^{'} (0, 0)

不存在，

f_{y}^{'} (0, 0)

存在

C.

f_{x}^{'} (0, 0)

不存在，

f_{y}^{'} (0, 0)

不存在

D.

f_{x}^{'} (0, 0), f_{y}^{'} (0, 0)

都不存在

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12. 设函数

f

连续，若

F (u, v) = \iint_{D_{u v}} \frac{f (x^{2} + y^{2})}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}} d x d y

，其中

D_{u v} : x^{2} + y^{2} = 1, x^{2} + y^{2} = u^{2}, y = 0, y = v x

(u > 1, v > 0)

，则

\frac{\partial F}{\partial u} =

A.

v f (u^{2})

B.

\frac{v}{u} f (u^{2})

C.

v f (u)

D.

\frac{v}{u} f (u)

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13. 设函数

z = z (x, y)

由方程

F (\frac{y}{x}, \frac{z}{x}) = 0

确定, 其中

F

为可微函数, 且

F_{2}^{'} \neq 0

, 则

x \frac{\partial z}{\partial x} + y \frac{\partial z}{\partial y} =

A.

x

B.

z

C.

- x

D.

- z

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14. 设函数

z = z (x, y)

由方程

F (\frac{y}{x}, \frac{z}{x}) = 0

确定，其中

F

为可微函数,且

F_{2}^{'} \neq 0

，则

x \frac{\partial z}{\partial x} + y \frac{\partial z}{\partial y} =

A.

x

B.

z

C.

- x

D.

- z

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15. 设函数

f (x, y)

为可微函数，且对任意的

x, y

都有

\frac{\partial (x, y)}{\partial x} > 0, \frac{\partial (x, y)}{\partial y} < 0,

则使不等式

f (x_{1}, y_{1}) > f (x_{2}, y_{2})

成立的一个充分条件是

A.

x_{1} > x_{2}, y_{1} < y_{2}

B.

x_{1} > x_{2}, y_{1} > y_{2}

C.

x_{1} < x_{2}, y_{1} < y_{2}

D.

x_{1} < x_{2}, y_{1} > y_{2}

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16. 设函数

z = \frac{y}{x} f (x y)

，其中函数

f

可微，则

\frac{x}{y} \frac{\partial z}{\partial x} + \frac{\partial z}{\partial y} =

A.

2 y f^{'} (x y)

B.

- 2 y f^{'} (x y)

C.

\frac{2}{x} f (x y)

D.

- \frac{2}{x} f (x y)

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17. 已知函数

f (x, y) = \frac{e^{x}}{x - y}

，则

A.

f_{x}^{'} - f_{y}^{'} = 0

B.

f_{x}^{'} + f_{y}^{'} = 0

C.

f_{x}^{'} - f_{y}^{'} = f

D.

f_{x}^{'} + f_{y}^{'} = f

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18. 设

f (x, y)

具有一阶偏导数，且在任意的

(x, y)

都有

\frac{\partial f (x, y)}{\partial x} > 0, \frac{\partial f (x, y)}{\partial y} < 0

，则

A.

f (0, 0) > f (1, 1)

B.

f (0, 0) < f (1, 1)

C.

f (0, 1) > f (1, 0)

D.

f (0, 1) < f (1, 0)

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19. 关于函数

f (x, y) = {\begin{cases} x y, x y \neq 0 \\ x, y = 0 \\ y, x = 0 \end{cases}

给出下列结论
(1)

{\frac{\partial f}{\partial x} |}_{(0, 0)} = 1

(2)

{\frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y} |}_{(0, 0)} = 1

(3)

lim_{(x, y) \to (0, 0)} f (x, y) = 0

(4)

lim_{y \to 0} lim_{x \to 0} f (x, y) = 0

其中正确的个数为

A.

B.

C.

D.

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20. 设函数

f (x, y)

可微，

f (x + 1, e^{x}) = x (x + 1)^{2}, f (x, x^{2}) = 2 x^{2} \ln x

则

d f (1, 1) = ()

A.

d x + d y

B.

d x - d y

C.

d y

D.

- d y

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21. 已知

z = x y f (\frac{y}{x})

，且

f (u)

可导，若

x \frac{\partial z}{\partial x} + y \frac{\partial z}{\partial y} = y^{2} (\ln y - \ln x)

，则（）

A.

f (1) = \frac{1}{2}, f^{'} (1) = \frac{1}{2}

B.

f (1) = 0, f^{'} (1) = \frac{1}{2}

C.

f (1) = \frac{1}{2}, f^{'} (1) = 1

D.

f (1) = 0, f^{'} (1) = 1

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22. 设函数

f (t)

连续，令

F (x, y) = \int_{0}^{x - y} (x - y - t) f (t) d t

则

A.

\frac{\partial F}{\partial x} = \frac{\partial F}{\partial y}, \frac{\partial^{2} F}{\partial x^{2}} = \frac{\partial^{2} F}{\partial y^{2}}

B.

\frac{\partial F}{\partial x} = \frac{\partial F}{\partial y}, \frac{\partial^{2} F}{\partial x^{2}} = - \frac{\partial^{2} F}{\partial y^{2}}

C.

\frac{\partial F}{\partial x} = - \frac{\partial F}{\partial y}, \frac{\partial^{2} F}{\partial x^{2}} = \frac{\partial^{2} F}{\partial y^{2}}

D.

\frac{\partial F}{\partial x} = - \frac{\partial F}{\partial y}, \frac{\partial^{2} F}{\partial x^{2}} = - \frac{\partial^{2} F}{\partial y^{2}}

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23. 设函数

f (t)

连续，

F (x, y) = \int_{0}^{x - y} (x - y - t) f (t) d t

则

(

)

A.

\frac{\partial F}{\partial x} = \frac{\partial F}{\partial y}, \frac{\partial^{2} F}{\partial x^{2}} = \frac{\partial^{2} F}{\partial y^{2}}

B.

\frac{\partial F}{\partial x} = \frac{\partial F}{\partial y}, \frac{\partial^{2} F}{\partial x^{2}} = - \frac{\partial^{2} F}{\partial y^{2}}

C.

\frac{\partial F}{\partial x} = - \frac{\partial F}{\partial y}, \frac{\partial^{2} F}{\partial x^{2}} = \frac{\partial^{2} F}{\partial y^{2}}

D.

\frac{\partial F}{\partial x} = - \frac{\partial F}{\partial y}, \frac{\partial^{2} F}{\partial x^{2}} = - \frac{\partial^{2} F}{\partial y^{2}}

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24. 已知函数

f (x, y) = {\begin{cases} (x^{2} + y^{2}) \sin \frac{1}{x y}, & x y \neq 0, \\ 0, & x y = 0 \end{cases}

，则在点

(0, 0)

处（）

A.

\frac{\partial f (x, y)}{\partial x}

连续，

f (x, y)

可微

B.

\frac{\partial f (x, y)}{\partial x}

连续，

f (x, y)

不可微

C.

\frac{\partial f (x, y)}{\partial x}

不连续，

f (x, y)

可微

D.

\frac{\partial f (x, y)}{\partial x}

不连续，

f (x, y)

不可微

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二、填空题（共 16 题），请把答案直接填写在答题纸上

25. 设

u = e^{- x} \sin \frac{x}{y}

, 则

\frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial y}

在点

(2, \frac{1}{π})

处的值为

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26. 设

z = \frac{1}{x} f (x y) + y φ (x + y)

，其中

f, φ

具有二阶连续导数，则

\frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y} =

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27. 设

z = e^{- x} - f (x - 2 y)

，且当

y = 0

时，

z = x^{2}

，则

\frac{\partial z}{\partial x} =

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28. 设函数

z = z (x, y)

由方程

z = e^{2 x - 3 z} + 2 y

确定，则

3 \frac{\partial z}{\partial x} + \frac{\partial z}{\partial y} =

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29. 设函数

f (u, v)

由关系式

f [x g (y), y] = x + g (y)

确定，其中函数

g (y)

可微，且

g (y) \neq 0

，则

\frac{\partial^{2} f}{\partial u \partial v} =

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30. 设

f (u, v)

为二元可微函数，

z = f (x^{y}, y^{x})

，则

\frac{\partial z}{\partial x} =

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31. 设

f (u, v)

是二元可微函数，

z = f (\frac{y}{x}, \frac{x}{y})

，则

x \frac{\partial z}{\partial x} - y \frac{\partial z}{\partial y} =

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32. 设

f (u, v)

是二元可微函数，

z = f (\frac{y}{x}, \frac{x}{y})

，则

x \frac{\partial z}{\partial x} - y \frac{\partial z}{\partial y} =

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33. 设

z = {(\frac{y}{x})}^{\frac{x}{y}}

，则

{\frac{\partial z}{\partial x} |}_{(1, 2)} =

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34. 设函数

f (u, v)

具有二阶连续偏导数，

z = f (x, x y)

，则

\frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y} =

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35. 设

z = {(x + e^{y})}^{x}

，则

{\frac{\partial z}{\partial x} |}_{(1, 0)} =

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36. 设

{\begin{cases} x = e^{- t}, \\ y = \int_{0}^{t} \ln (1 + u^{2}) d u \end{cases}

，求

{\frac{d^{2} y}{d x^{2}} |}_{t = 0} =

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37. 设函数

F (x, y) = \int_{0}^{x y} \frac{\sin t}{1 + t^{2}} d t

，则

{\frac{\partial^{2} F}{\partial x^{2}} |}_{\begin{matrix} x = 0 \\ y = 2 \end{matrix}} =

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38. 设函数

z = {(1 + \frac{x}{y})}^{\frac{x}{y}}

，则

{d z |}_{(1, 1)} =

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39. 设

z = f (\ln x + \frac{1}{y})

，其中函数

f (u)

可微，则

x \frac{\partial z}{\partial x} + y^{2} \frac{\partial z}{\partial y} =

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40. 设连续函数

z = f (x, y)

满足

lim_{\begin{matrix} x \to 0 \\ y \to 1 \end{matrix}} \frac{f (x, y) - 2 x + y - 2}{\sqrt{x^{2} + (y - 1)^{2}}} = 0 ，

则

{d z |}_{(0, 1)} =

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