一、单选题 （共 1 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
设常数 $k>0$, 则级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{k+n}{n^{2}}$ = （ ）
$\text{A.}$ 发散.
$\text{B.}$ 绝对收敛.
$\text{C.}$ 条件收敛.
$\text{D.}$ 收敛或发散与 $k$ 的取值有关.
二、填空题 （共 1 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{\sqrt{n+1}}$ 的收敛域是
三、解答题 （ 共 38 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
求幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n 2^{n}} x^{n-1}$ 的收敛域, 并求其和函数.
求幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{(x-3)^{n}}{n 3^{n}}$ 的收敛域.
将函数 $f(x)=\arctan \frac{1+x}{1-x}$ 展开为 $x$ 的幕级数.
求幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty}(2 n+1) x^{n}$ 的收敛域, 并求其和函数。
将函数 $f(x)=2+|x|(-1 \leqslant x \leqslant 1)$ 展开成以 2 为周期的傅里叶级数, 并由此求级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}$ 的和.
求级数 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}\left(n^{2}-n+1\right)}{2^{n}}$ 的和.
将函数 $f(x)=\frac{1}{4} \ln \frac{1+x}{1-x}+\frac{1}{2} \arctan x-x$ 展开成 $x$ 的幂级数.
设 $f(x)$ 在点 $x=0$ 的某一邻域内具有二阶连续导数, 且 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=0$, 证明级数 $\sum_{n=1}^{\infty} f\left(\frac{1}{n}\right)$ 绝对收敛
将函数 $f(x)=x-1(0 \leqslant x \leqslant 2)$ 展开成周期为 4 的余弦级数.
设 $x_{1}=10, x_{n+1}=\sqrt{6+x_{n}}(n=1,2, \cdots)$, 试证数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 极限存在, 并求此极限.
求级数 $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{\left(n^{2}-1\right) 2^{n}}$ 的和.
将函数 $f(x)=\frac{1}{x^2-3 x+2}$ 展开成幂级数，并指出其收敛区间.
设函数 $y=y(x)$ 满足微分方程 $y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}+2 y=2 e^x$ ，且其图形在点 $(0,1)$ 处的切线与曲线 $y=x^2-x+1$ 在该点的切线重合，求函数 $y=y(x)$.
讨论级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(n+1)!}{n^{n+1}}$ 的敛散性.
求级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x-3)^n}{n^2}$ 的收敛域.
将函数 $y=\ln \left(1-x-2 x^2\right)$ 展成 $x$ 的幂级数，并指出其收敛区间.
求 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{\sin \frac{\pi}{n}}{n+1}+\frac{\sin \frac{2 \pi}{n}}{n+\frac{1}{2}}+\ldots+\frac{\sin \pi}{n+\frac{1}{n}}\right)$.
设正项数列 $\left\{a_n\right\}$ 单调减少，且级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n a_n$ 发散，试问级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{a_n+1}\right)^n$ 是否收敛? 并说明理由.
设 $f(x)$ 是区间 $[0,1)$ 上单调减少且非负的连续函数，
$$
a_n=\sum_{k=1}^n f(k)-\int_1^n f(x) \mathrm{d} x(n=1,2, \cdots) .
$$
证明：数列 $\left\{a_n\right\}$ 的极限存在.
求幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{3^n+(-2)^n} \frac{x^n}{n}$ 的收敛区间，并讨论该区间端点处的收敛性.
设 $I_n=\int_0^{\frac{\pi}{4}} \sin ^n x \cos x \mathrm{~d} x, n=0,1,2, \cdots$ ，求 $\sum_{n=0}^{\infty} I_n$.
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{1+x^2}{x} \arctan x, & x \neq 0 \\ 1, & x=0\end{array}\right.$ ，将 $f(x)$ 展开成 $x$的幂级数，并求级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{1-4 n^2}$ 的和.
已知 $f_n(x)$ 满足 $f_n^{\prime}(x)=f_n(x)+x^{n-1} e^x$ ( $n$ 为正整数)且 $f_n(1)=\frac{e}{n}$ ，求函数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} f_n(x)$ 之和.
设 $0 \leq x_1 \leq 3, x_{n+1}=\sqrt{x_n\left(3-x_n\right)}(n=1,2, \cdots)$ ，证明数列 $\left\{x_n\right\}$ 的极限存在，并求此极限.
将函数 $f(x)=\arctan \frac{1-2 x}{1+2 x}$ 展开成 $x$ 的幂级数，并求级数 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2 n+1}$ 的和.
求幂级数 $1+\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n \frac{x^{2 n}}{2 n}(|x| < 1)$ 的和函数 $f(x)$ 及其极值.
设有方程 $x^n+n x-1=0$ ，其中 $n$ 为正整数. 证明此方程存在惟一正实根 $x_n$ ，并证明当 $\alpha>1$ 时，级数 $\sum_{n=1}^{\infty} x_n^\alpha$ 收敛.
求幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\left[1+\frac{1}{n(2 n-1)}\right] x^{2 n}$ 的收敛区间与和函数 $f(x)$.
求幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{2 n+1}-1\right) x^{2 n}$ 在区间 $(-1,1)$ 内的和函数 $S(x)$.
将函数 $f(x)=\frac{x}{2+x-x^2}$ 展开成 $x$ 的幂级数.
求幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1} x^{2 n+1}}{n(2 n-1)}$ 的收敛域及和函数 $s(x)$.
将函数 $f(x)=\frac{1}{x^2-3 x-4}$ 展开成 $x-1$ 的幂级数，并指出其收敛区间.
将函数 $f(x)=1-x^2(0 \leq x \leq \pi)$ 展开成余弦级数，并求级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n^2}$ 的和.
求幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{2 n-1} x^{2 n}$ 的收敛域及和函数.
求幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{4 n^2+4 n+3}{2 n+1} x^{2 n}$ 的收敛域及和函数.
设函数 $f(x)=\frac{x}{1+x}, x \in[0,1]$ ，定义函数列:
$$
f_1(x)=f(x), f_2(x)=f\left(f_1(x)\right), \cdots, f_n(x)=f\left(f_{n-1}(x)\right), \ldots
$$
记 $S_n$ 是由曲线 $y=f_n(x)$ 、直线 $x=1$ 及 $x$ 轴所围平面图形的面积，求极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} n S_n$.
求幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)(n+3) x^n$ 的收敛域及和函数.
求幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2 n+2}}{(n+1)(2 n+1)}$ 的收敛域及和函数。