【ID】720 【题型】解答题 【类型】考研真题 【来源】1994 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解
设 $f(x)$ 在点 $x=0$ 的某一邻域内具有二阶连续导数, 且 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=0$, 证明级数 $\sum_{n=1}^{\infty} f\left(\frac{1}{n}\right)$ 绝对收敛
答案:
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=0$ 表明 $x \rightarrow 0$ 时 $f(x)$ 是比 $x$ 高阶的无穷小, 若能进一步确定 $f(x)$ 是 $x$ 的 $p$ 阶或高于 $p$ 阶的无穷小, $p > 1$, 从而 $\left|f\left(\frac{1}{n}\right)\right|$ 也是 $\frac{1}{n}$ 的 $p$ 阶或高于 $p$ 阶的无穷小, 这就 证明了级数 $\sum_{n=1}^{\infty} f\left(\frac{1}{n}\right)$ 绝对收敛.

方法一: 由 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=0$ 及 $f(x)$ 的连续性得知 $f(0)=0, f^{\prime}(0)=0$, 再由 $f(x)$ 在点 $x=0$
的某一领域内具有二阶连续导数以及洛必达法则, $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x^{2}}$ 为 “ $\frac{0}{0}$ ”型的极限末定式, 又分 子分母在点 0 处导数都存在, 连续运用两次洛必达法则, 有
$$
\begin{aligned}
& \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x^{2}}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f^{\prime}(x)}{2 x}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f^{\prime \prime}(x)}{2}=\frac{1}{2} f^{\prime \prime}(0) \\
\Rightarrow & \lim _{x \rightarrow 0}\left|\frac{f(x)}{x^{2}}\right|=\frac{1}{2}\left|f^{\prime \prime}(0)\right| .
\end{aligned}
$$
由函数极限与数列极限的关系 $\Rightarrow \lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{\left|f\left(\frac{1}{n}\right)\right|}{\frac{1}{n^{2}}}=\frac{1}{2}\left|f^{\prime \prime}(0)\right|$.
因 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}$ 收玫 $\Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty}\left|f\left(\frac{1}{n}\right)\right|$ 收玫, 即 $\sum_{n=1}^{\infty} f\left(\frac{1}{n}\right)$ 绝对收玫.



方法二: 由 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=0$ 得知 $f(0)=0, f^{\prime}(0)=0$, 可用泰勒公式来实现估计. $f(x)$ 在点 $x=0$ 有泰勒公式:
$$
f(x)=f(0)+f^{\prime}(0) x+\frac{1}{2} f^{\prime \prime}(\theta x) x^{2}=\frac{1}{2} f^{\prime \prime}(\theta x) x^{2}(0 < \theta < 1, x \in[-\delta, \delta])
$$
因 $f(x)$ 在点 $x=0$ 的某一领域内具有二阶连续导数,
$\Rightarrow \exists \delta > 0, f^{\prime \prime}(x)$ 在 $x \in[-\delta, \delta]$ 有界, 即 $\exists M > 0$, 有 $\left|f^{\prime \prime}(x)\right| \leq M, x \in[-\delta, \delta]$ $\Rightarrow|f(x)|=\frac{1}{2}\left|f^{\prime \prime}(\theta x)\right| x^{2} \leq \frac{1}{2} M x^{2}, x \in[-\delta, \delta] .$
对此 $\delta > 0, \exists N, n > N$ 时, $0 < \frac{1}{n} < \delta \Rightarrow\left|f\left(\frac{1}{n}\right)\right| \leq \frac{1}{2} M \frac{1}{n^{2}}$.
又 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}$ 收敛 $\Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty}\left|f\left(\frac{1}{n}\right)\right|$ 收玫, 即 $\sum_{n=1}^{\infty} f\left(\frac{1}{n}\right)$ 绝对收敛.

解析:

视频讲解

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