题号:716    题型:填空题    来源:1994 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解
将函数 $f(x)=\frac{1}{4} \ln \frac{1+x}{1-x}+\frac{1}{2} \arctan x-x$ 展开成 $x$ 的幂级数.
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答案:
$f(x)=\frac{1}{4} \ln (1+x)-\frac{1}{4} \ln (1-x)+\frac{1}{2} \arctan x-x$.
先求 $f^{\prime}(x)$ 的展开式. 将 $f(x)$ 微分后, 可得简单的展开式, 再积分即得原函数的幕级数 展开. 所以由
$$
(1+x)^{\alpha}=1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2 !} x^{2}+\cdots+\frac{\alpha(\alpha-1) \cdots(\alpha-n+1)}{n !} x^{n}+\cdots,(-1 < x < 1)
$$
该级数在端点 $x=\pm 1$ 处的收敛性, 视 $\alpha$ 而定. 特别地, 当 $\alpha=-1$ 时, 有
$$
\begin{aligned}
&\frac{1}{1+x}=1-x+x^{2}-x^{3}+\cdots+(-1)^{n} x^{n}+\cdots, \quad(-1 < x < 1) \\
&\frac{1}{1-x}=1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots+x^{n}+\cdots, \quad(-1 < x < 1)
\end{aligned}
$$
得 $f^{\prime}(x)=\frac{1}{4} \frac{1}{1+x}+\frac{1}{4} \frac{1}{1-x}+\frac{1}{2} \frac{1}{1+x^{2}}-1=\frac{1}{2} \frac{1}{1-x^{2}}+\frac{1}{2} \frac{1}{1+x^{2}}-1$
$$
=\frac{1}{1-x^{4}}-1=\sum_{n=0}^{\infty} x^{4 n}-1=\sum_{n=1}^{\infty} x^{4 n}(|x| < 1),
$$
积分, 由牛顿-莱布尼茨公式得
$$
f(x)=f(0)+\int_{0}^{x} f^{\prime}(x) d x=\sum_{n=1}^{\infty} \int_{0}^{x} t^{4 n} d t=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{4 n+1}}{4 n+1}(|x| < 1) .
$$
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