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解答1.3试卷具体名称

数学

本试卷总分150分,考试时间120分钟。

注意事项:

答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在本试卷上无效。

考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。

学校：_______________ 姓名：_____________ 班级：_______________ 学号：_______________

一、解答题（共 23 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

1. 设

D = {(x, y) | | x | + | y ∣⩽ 1}, L

为

D

的边界, 取逆时针方向, 若

f (t)

连续,

g (t)

有一阶连续导数, 计算积分

I = \oint_{L} [f (x^{2} + y^{2}) + g (x + y)] (x d x + y d y) .

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2. 从点

(0, - 1)

引两条直线与抛物线

y = x^{2}

相切.
(1) 求由这两条直线与抛物线

y = x^{2}

所围成的平面图形绕

y

轴旋转一周所得到的旋转体的表面积:
（2）求上述旋转体的体积

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3. 设

u = f (r), r = \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}

, 其中函数

f

二阶可微, 且

lim_{x \to 1} \frac{f (x) - 1}{x - 1} = 1

, 若函数

u = f (r)

满足

\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}} + \frac{\partial^{2} u}{\partial z^{2}} = 0

, 试求

f (r)

的表达式.

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4. 设区域

D : 0 ⩽ x ⩽ 2, | y | ⩽ x

, 函数

f (x, y) = max_{- 1 ⩽⩽⩽ 3} (t^{2} - 2 x t + y^{3})

, 计算二重积分

\iint_{D} f (x, y) d x d y

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5. 计算

\iint_{Σ} (x^{2} + y^{2}) d S

, 其中

Σ : z = \sqrt{x^{2} + y^{2}} (0 \leq z \leq 4)

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6. 求二重积分

\iint_{D} \frac{d σ}{\sqrt{x + y + 4}}

, 其中

D = {(x, y) : | x | + | y | \leq 1} .

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7. 计算三重积分

∭_{Ω} z d v

, 其中

Ω

为曲面

z = \sqrt{2 - x^{2} - y^{2}}

及

z = x^{2} + y^{2}

所围成的闭区域。

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8. 计算曲线积分

\int_{L} (e^{x} \sin y - 8 y) d x + (e^{x} \cos y - 8) d y

, 其中 L 是由点

A (a, 0)

到点 O

(0, 0)

的上半圆周

x^{2} + y^{2} = a x (y \geq 0, a > 0)

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9. 计算

\iint (x + y + z) d S

, 其中曲而

Σ

为球面

x^{2} + y^{2} + z^{2} = a^{2}

上

z \geq h (0 < h < a)

的部分

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10. 交换二次积分

I = \int_{0}^{\sqrt{π}} d x \int_{x}^{\sqrt{π}} \sin y^{2} d y

的次序, 并且求出

I

的值.

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11. 计算

\iint_{Σ} x^{3} d y d z + y^{3} d x d z

, 其中

Σ

为圆柱面

x^{2} + y^{2} = R^{2}

介于平面

z = 0

和

z = h

之间部分的外侧.

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12. 求解

\iint_{Σ} \frac{x d y d z + y d z d x + z d x d y}{{(\sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}})}^{3}}

, 其中

Σ : x^{2} + y^{2} + \frac{z^{2}}{2} = 1

当中

z ⩾ - \frac{1}{2}

的部分, 取外侧。

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13. 计算二重积分

\iint_{D} \frac{x + y}{x^{2} + y^{2}} d x d y

, 其中

D = {(x, y) ∣ x^{2} + y^{2} \leq 1, x + y \geq 1}

。

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14. 抛物面

z = x^{2} + y^{2}

被平面

x + y + z = 1

截成一椭圆, 求原点到这椭圆的最长与最短距离。

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15. 计算二重积分

\iint_{D} | y^{2} - x^{2} | d σ

，其中

D = {(x, y) ∣ x \in [- 1, 1], y \in [0, 2]} .

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16. 设函数

f (x)

具有二阶连续导数，且

f (0) = 1, f^{'} (0) = 1 .

假设对任意光滑闭曲面

Σ

，恒有

\oint_{Σ} [f^{'} (x) + x^{2}] d y d z + (z + 1) f (x) d x d y = 0 .

试求

f (x)

的表达式.

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17. 计算二重积分

I = \iint_{D} x d x d y

, 其中

D

由

y = \sqrt{1 - x^{2}}, y = \sqrt{2 x - x^{2}}

与

x

轴所围成的区域.

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18. 设

D = {(x, y) : x^{2} + y^{2} \leq 1}

, 实数

α, β

满足

α^{2} + β^{2} = 1

, 计算二重积分

\iint_{D} \frac{d x d y}{\sqrt{(1 - α x + β y)^{2} + (β x + α y)^{2}}} .

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19. 设函数

f (x, y)

在区域

D : x^{2} + y^{2} \leq 1

上有二阶连续偏导数，且

\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} = e^{- (x^{2} + y^{2})} .

计算

\iint_{D} (x \frac{\partial f}{\partial x} + y \frac{\partial f}{\partial y}) d x d y

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20. 计算三重积分

I = ∭_{Ω} \frac{d V}{{(1 + x^{2} + y^{2} + z^{2})}^{2}}

，其中

Ω

为

0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq 1, 0 \leq z \leq 1

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21. 计算三重积分

∭_{Ω} x^{3} y^{2} z d V ， Ω

为马鞍面

z = x y

与平面

y = x, x = 1, z = 0

所包围的空间区域。

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22. 求二重积分

I = \iint_{D} | x^{2} + y^{2} - 4 | d x d y

，其中

D = {(x, y) ∣ x^{2} + y^{2} \leq 16}

。

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23. 设

D

是由

y = x^{3}, y = - c^{3}, x = - c (c \neq 0)

围成的积分区域,且

f (x)

是

R

上的连续函数, 求二重积分

\iint_{D} x (1 + y f (1 + | \sin x | + \cos y)) d x d y .

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