题号:915    题型:解答题    来源:1996年全国硕士研究生招生考试试题
求级数 $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{\left(n^{2}-1\right) 2^{n}}$ 的和.
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答案:
先将级数分解
$$
\begin{aligned}
A &=\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{\left(n^{2}-1\right) 2^{n}}=\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{2^{n+1}}\left(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}\right) \\
&=\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{2^{n+1}} \cdot \frac{1}{n-1}-\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{2^{n+1}} \cdot \frac{1}{n+1}=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^{n+2} \cdot n}-\sum_{n=3}^{\infty} \frac{1}{2^{n} \cdot n} .
\end{aligned}
$$
令 $A_{1}=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^{n+2} \cdot n}, \quad A_{2}=\sum_{n=3}^{\infty} \frac{1}{2^{n} \cdot n}$,
则 $A=A_{1}-A_{2}$.
由熟知 $\ln (1+x)$ 幂级数展开式, 即 $\ln (1+x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} x^{n}(-1 < x \leq 1)$, 得
$$
\begin{aligned}
A_{1} &=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^{n+2} \cdot n}=-\frac{1}{4} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n}\left(-\frac{1}{2}\right)^{n}=-\frac{1}{4} \ln \left(1-\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{4} \ln 2 \\
A_{2} &=\sum_{n=3}^{\infty} \frac{1}{2^{n} \cdot n}=-\sum_{n=3}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n}\left(-\frac{1}{2}\right)^{n} \\
&=-\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n}\left(-\frac{1}{2}\right)^{n}-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=-\ln \left(1-\frac{1}{2}\right)-\frac{1}{2}-\frac{1}{8}=\ln 2-\frac{5}{8}
\end{aligned}
$$
因此,
$$
A=A_{1}-A_{2}=\frac{5}{8}-\frac{3}{4} \ln 2
$$
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