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解答2试卷具体名称

数学

本试卷总分150分,考试时间120分钟。

注意事项:

答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在本试卷上无效。

考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。

学校：_______________ 姓名：_____________ 班级：_______________ 学号：_______________

一、解答题（共 40 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

1. 求

I = \int_{L} (e^{x} \sin y - b (x + y)) d x + (e^{x} \cos y - a x) d y

，其中

a, b

为正的常数，

L

为从点

A (2 a, 0)

沿曲线

y = \sqrt{2 a x - x^{2}}

到点

O (0, 0)

的弧.

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2. 设函数

y (x) (x \geq 0)

二阶可导且

y^{'} (x) > 0, y (0) = 1

. 过曲线

y = f (x)

上任意一点

P (x, y)

作该曲线的切线及

x

轴的垂线，上述两直线与

x

轴所围成的三角形的面积记为

S_{1}

，区间

[0, x]

上以

y = y (x)

为曲边的曲边梯形面积记为

S_{2}

，并设

2 S_{1} - S_{2}

恒为 1 ，求此曲线

y = y (x)

的方程.

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3. 计算曲线积分

I = \oint_{L} \frac{x d y - y d x}{4 x^{2} + y^{2}}

，其中

L

是以点

(1, 0)

为中心，

R (R > 1)

为半径的圆周，取逆时针方向.

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4. 设

x O y

平面上有正方形

D = {(x, y) ∣ 0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq 1}

及直线

l : x + y = t (t \geq 0)

，若

S (t)

表示正方形

D

位于直线

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5. 已知抛物线

y = p x^{2} + q x

(其中

p < 0, q > 0

) 在第一象限内与直线

x + y = 5

相切，且此抛物线与

x

轴所围成的平面图形的面积为

S

.
(1) 问

p

和

q

为何值时，

S

达到最大?
(2) 求出此最大值.

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6. 设函数

f (x)

在

(- \infty, + \infty)

内具有一阶连续导数，

L

是上半平面

(y > 0)

内的有向分段光滑曲线，其起点为

(a, b)

，终点为

(c, d)

，记

I = \int_{L} \frac{1}{y} [1 + y^{2} f (x y)] d x + \frac{x}{y^{2}} [y^{2} f (x y) - 1] d y .

（1）证明曲线积分

I

与路径

L

无关；
（2）当

a b = c d

时，求

I

的值.

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7. 过坐标原点作曲线

y = \ln x

的切线，该切线与曲线

y = \ln x

及

x

轴围成平面图形

D

.
(1) 求

D

的面积

A

.
(2) 求

D

绕直线

x = e

旋转一周所得旋转体的体积

V

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8. 设位于第一象限的曲线

y = f (x)

过点

(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{2})

，其上任一点

P (x, y)

处的法线与

y

轴的交点为

Q

，且线段

P Q

被

x

轴平分.
(1) 求曲线

y = f (x)

的方程;
（2）已知曲线

y = \sin x

在

[0, π]

上的弧长为

l

，试用

l

表示曲线

y = f (x)

的弧长

s

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9. 计算曲面积分

I = \iint_{Σ} 2 x^{3} d y d z + 2 y^{3} d z d x + 3 (z^{2} - 1) d x d y,

其中

\sum

是曲面

z = 1 - x^{2} - y^{2} (z \geq 0)

的上侧.

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10. 设

F (x) = {\begin{cases} e^{2 x}, x \leq 0 \\ e^{- 2 x}, x > 0 \end{cases}

，S 表示夹在

x

轴与曲线

y = F (x)

之间的面积. 对任何

t > 0, S_{1} (t)

表示矩形

- t \leq x \leq t, 0 \leq y \leq F (t)

的面积. 求
(1)

S (t) = S - S_{1} (t)

的表达式；
(2)

S (t)

的最小值.

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11. 如下图，曲线

C

的方程为

y = f (x)

，点

(3, 2)

是它的一个拐点，直线

l_{1}

与

l_{2}

分别是曲线 C 在点

(0, 0)

与

(3, 2)

处的切线，其交点为

(2, 4)

. 设函数

f (x)

具有三阶连续导数，计算定积分

\int_{0}^{3} (x^{2} + x) f^{'''} (x) d x

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12. 计算二重积分

\iint_{D} | x^{2} + y^{2} - 1 | d σ

，其中

D = {(x, y) ∣ 0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq 1} .

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13. 计算曲面积分

I = \iint_{Σ} x z d y d z + 2 z y d z d x + 3 x y d x d y,

其中

Σ

为曲面

z = 1 - x^{2} - \frac{y^{2}}{4} (0 \leq z \leq 1)

的上侧.

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14. 设二元函数

f (x, y) = {\begin{cases} x^{2}, & | x | + | y | \leq 1 \\ \frac{1}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}, & 1 < | x | + | y | \leq 2 \end{cases}

计算二重积分

\iint_{D} f (x, y) d σ

，其中

D = {(x, y) ∥ x | + | y ∣\leq 2}

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15. 计算曲线积分

\int_{L} \sin 2 x d x + 2 (x^{2} - 1) y d y

，其中

L

是曲线

y = \sin x

上从点

(0, 0)

到点

(π, 0)

的一段.

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16. 计算

\iint_{D} max {x y, 1} d x d y

，其中

D = {(x, y) ∣ 0 \leq x \leq 2, 0 \leq y \leq 2}

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17. 设

a_{n}

为曲线

y = x^{n}

与

y = x^{n + 1} (n = 1, 2, \dots)

所围区域的面积，记

S_{1} = \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} ， S_{2} = \sum_{n = 1}^{\infty} a_{2 n - 1}

，求

S_{1}

与

S_{2}

的值

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18. 已知曲线

L : {\begin{cases} x = f (t) \\ y = \cos t \end{cases} (0 \leq t < \frac{π}{2})

，其中函数

f (t)

具有连续导数，且

f (0) = 0 ， f^{'} (t) > 0 (0 \leq t < \frac{π}{2})

. 若曲线

L

的切线与

x

轴的交点到切点的距离恒为 1 ，求函数

f (t)

的表达式，并求以曲线

L

与

x

轴与

y

轴为边界的区域的面积.

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19. 设曲线

L

的方程为

y = \frac{1}{4} x^{2} - \frac{1}{2} \ln x (1 \leq x \leq e)

.
(1) 求

L

的弧长.
(2) 设

D

是由曲线

L

，直线

x = 1, x = e

及

x

轴所围成的平面图形，求

D

的形心的横坐标.

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20. 设平面区域

D = {(x, y) ∣ 1 \leq x^{2} + y^{2} \leq 4, x \geq 0, y \geq 0}

，计算

I = \iint_{D} \frac{x \sin (π \sqrt{x^{2} + y^{2}})}{x + y} d x d y

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21. 设平面区域

D = {(x, y) ∣ 1 \leq x^{2} + y^{2} \leq 4, x \geq 0, y \geq 0}

，计算

I = \iint_{D} \frac{x \sin (π \sqrt{x^{2} + y^{2}})}{x + y} d x d y

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22. 已知曲线

L

的方程为

{\begin{cases} z = \sqrt{2 - x^{2} - y^{2}} \\ z = x \end{cases}

，起点为

A (0, \sqrt{2}, 0)

，终点为

B (0, - \sqrt{2}, 0)

，计算曲线积分

I = \int_{L} (y + z) d x + (z^{2} - x^{2} + y) d y + (x^{2} + y^{2}) d z

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23. 设函数

f (x, y)

满足

\frac{\partial f (x, y)}{\partial x} = (2 x + 1) e^{2 x - y}

，

f (0, y) = y + 1 ， L_{t}

是从点

(0, 0)

到点

(1, t)

的光滑曲线，计算曲线积分

I (t) = \int_{L_{t}} \frac{\partial f (x, y)}{\partial x} d x + \frac{\partial f (x, y)}{\partial y} d y,

并求

I (t)

的最小值.

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24. 设薄片型物体

S

是圆锥面

z = \sqrt{x^{2} + y^{2}}

被柱面

z^{2} = 2 x

割下的有限部分，其上任一点密度为

μ (x, y, z) = 9 \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}} 。

记圆锥与柱面的交线为

C

:
(1) 求

C

在

x O y

平面上的投影曲线的方程;
(2) 求

S

的质量

M

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25. 求曲线

y = e^{- x} \sin x (x \geq 0)

与

x

轴所围图形的面积.

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26. 设

n

是正整数，记

S_{n}

是

y = e^{- x} \sin x (0 \leq x \leq n π)

的图形与

x

轴所围图形的面积，求

S_{n}

，并求

lim_{n \to \infty} S_{n}

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27. 求曲线

y = e^{- x} \sin x (x \geq 0)

与

x

轴所围图形的面积.

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28. 计算曲线积分

I = \int_{L} \frac{4 x - y}{4 x^{2} + y^{2}} d x + \frac{x + y}{4 x^{2} + y^{2}} d y

其中

L

为

x^{2} + y^{2} = 2

，方向取逆时钟方向.

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29. 设

Σ

为曲面

z = \sqrt{x^{2} + y^{2}} (1 \leq x^{2} + y^{2} \leq 4)

的下侧，

f (x)

为连续函数，计算曲面积分

I = \iint_{Σ} [x f (x y) + 2 x - y] d y d z + [y f (x y) + 2 y + x] d z d x + [z f (x y) + z] d x d y

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30. 已知函数

f (x)

可导，且

f^{'} (x) > 0

. 曲线

y = f (x) (x \geq 0)

经过坐标原点

O

，其上任意一点

M

处的切线与

x

轴相交于点

T

，过点

M

做

M P

垂直于

x

轴于点

P

，且曲线

y = f (x)

、直线

M P

以及

x

轴所围成图形的面积与三角形

M T P

的面积比恒为

3 : 2

，求满足上述条件曲线方程.

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31. 设有界区域

D

是

x^{2} + y^{2} = 1

和直线

y = x

及

x

轴在第一象限围成的部分，计算二重积分

I = \iint_{D} e^{(x + y)^{2}} (x^{2} - y^{2}) d x d y

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32. 计算二重积分

\iint_{D} \frac{(x - y)^{2}}{{\vec{x}}^{2} + y^{2}} d x d y

，其中区域

D

为

y = x + 2

与

y = \sqrt{4 - x^{2}}

以及

x

轴所围成的区域.

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33. 设

L

是曲面

Σ : 4 x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1, x \geq 0, y \geq 0, z \geq 0

的边界，曲面方向朝上，已知曲线

L

的方向和曲面的方向符
合右手法则，求曲线积分

I = \oint_{L} (y z^{2} - \cos z) d x + 2 x z^{2} d y + (2 x y z + x \sin z) d z

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34. 设

y (x)

是微分方程

2 x y^{'} - 4 y = 2 \ln x - 1

满足

y (1) = \frac{1}{4}

的解，求曲线

y = y (x) (1 \leq x \leq e)

的弧长.

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35. 计算二重积分

\iint_{D} \frac{(x - y)^{2}}{x^{2} + y^{2}} d x d y

，其中区域

D

为

y = x + 2

与

y = \sqrt{4 - x^{2}}

以及

x

轴所围成的区域。

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36. 设空间有界区域

Ω

由柱面

x^{2} + y^{2} = 1

与平面

z = 0

和

x + z = 1

围成.

Σ

为

Ω

的边界曲面的外侧. 计算曲面积分

I = \oint_{Σ} 2 x z d y d z + x z \cos y d z d x + 3 y z \sin x d x d y .

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37. 已知平面区域

D = {(x, y) ∣ (x - 1)^{2} + y^{2} \leq 1}

，计算二重积分

I = \iint_{D} | \sqrt{x^{2} + y^{2}} - 1 | d x d y

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38. 已知向曲线

L

是球面

x^{2} + y^{2} + z^{2} = 2 x

与平面

2 x - z - 1 = 0

的交线，从

z

轴正向往

z

轴负向看为逆时针方向，计算曲线积分

I = \int_{L} (6 x y z - y z^{2}) d x + 2 x^{2} z d y + x y z d z

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39. 设有界区域

D

位于第一象限，由曲线

x y = \frac{1}{3}, x y = 3

与直线

y = \frac{1}{3} x, y = 3 x

围成，计算

I = \iint_{D} (1 + x - y) d x d y

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40. 设

t > 0

，平面有界区域

D

由曲线

y = x e^{- 2 x}

与直线

x = t, x = 2 t

及

x

轴围成，

D

的面积为

S (t)

，求

S (t)

的最大值.

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