一、解答题 （ 共 40 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
求 $I=\int_L\left(e^x \sin y-b(x+y)\right) \mathrm{d} x+\left(e^x \cos y-a x\right) \mathrm{d} y$ ，其中 $a, b$ 为正的常数， $L$ 为从点 $A(2 a, 0)$ 沿曲线 $y=\sqrt{2 a x-x^2}$ 到点 $O(0,0)$ 的弧.
设函数 $y(x)(x \geq 0)$ 二阶可导且 $y^{\prime}(x)>0, y(0)=1$. 过曲线 $y=f(x)$ 上任意一点 $P(x, y)$ 作该曲线的切线及 $x$ 轴的垂线，上述两直线与 $x$ 轴所围成的三角形的面积记为 $S_1$ ，区间 $[0, x]$ 上以 $y=y(x)$ 为曲边的曲边梯形面积记为 $S_2$ ，并设 $2 S_1-S_2$ 恒为 1 ，求此曲线 $y=y(x)$ 的方程.
计算曲线积分 $I=\oint_L \frac{x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x}{4 x^2+y^2}$ ，其中 $L$ 是以点 $(1,0)$ 为中心， $R(R>1)$ 为半径的圆周，取逆时针方向.
设 $x O y$ 平面上有正方形 $D=\{(x, y) \mid 0 \leq x \leq 1,0 \leq y \leq 1\}$ 及直线 $l: x+y=t(t \geq 0)$ ，若 $S(t)$ 表示正方形 $D$ 位于直线
已知抛物线 $y=p x^2+q x$ (其中 $p < 0, q>0$ ) 在第一象限内与直线 $x+y=5$ 相切，且此抛物线与 $x$ 轴所围成的平面图形的面积为 $S$.
(1) 问 $p$ 和 $q$ 为何值时， $S$ 达到最大?
(2) 求出此最大值.
设函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内具有一阶连续导数， $L$ 是上半平面 $(y>0)$ 内的有向分段光滑曲线，其起点为 $(a, b)$ ，终点为 $(c, d)$ ，记
$$
I=\int_L \frac{1}{y}\left[1+y^2 f(x y)\right] \mathrm{d} x+\frac{x}{y^2}\left[y^2 f(x y)-1\right] \mathrm{d} y .
$$
（1）证明曲线积分 $I$ 与路径 $L$ 无关；
（2）当 $a b=c d$ 时，求 $I$ 的值.
过坐标原点作曲线 $y=\ln x$ 的切线，该切线与曲线 $y=\ln x$ 及 $x$ 轴围成平面图形 $D$.
(1) 求 $D$ 的面积 $A$.
(2) 求 $D$ 绕直线 $x=e$ 旋转一周所得旋转体的体积 $V$.
设位于第一象限的曲线 $y=f(x)$ 过点 $\left(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{2}\right)$ ，其上任一点 $P(x, y)$ 处的法线与 $y$ 轴的交点为 $Q$ ，且线段 $P Q$ 被 $x$轴平分.
(1) 求曲线 $y=f(x)$ 的方程;
（2）已知曲线 $y=\sin x$ 在 $[0, \pi]$ 上的弧长为 $l$ ，试用 $l$ 表示曲线 $y=f(x)$ 的弧长 $s$.
计算曲面积分
$$
I=\iint_{\Sigma} 2 x^3 \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+2 y^3 \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+3\left(z^2-1\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y,
$$
其中 $\sum$ 是曲面 $z=1-x^2-y^2(z \geq 0)$ 的上侧.
设 $F(x)=\left\{\begin{array}{l}e^{2 x}, x \leq 0 \\ e^{-2 x}, x>0\end{array}\right.$ ，S 表示夹在 $x$ 轴与曲线 $y=F(x)$ 之间的面积. 对任何 $t>0, S_1(t)$ 表示矩形 $-t \leq x \leq t, 0 \leq y \leq F(t)$ 的面积. 求
(1) $S(t)=S-S_1(t)$ 的表达式；
(2) $S(t)$ 的最小值.
如下图，曲线 $C$ 的方程为 $y=f(x)$ ，点 $(3,2)$ 是它的一个拐点，直线 $l_1$ 与 $l_2$ 分别是曲线 C 在点 $(0,0)$ 与 $(3,2)$ 处的切线，其交点为 $(2,4)$. 设函数 $f(x)$ 具有三阶连续导数，计算定积分 $\int_0^3\left(x^2+x\right) f^{\prime \prime \prime}(x) \mathrm{d} x$.
计算二重积分 $\iint_D\left|x^2+y^2-1\right| \mathrm{d} \sigma$ ，其中
$$
D=\{(x, y) \mid 0 \leq x \leq 1,0 \leq y \leq 1\} .
$$
计算曲面积分
$$
I=\iint_{\Sigma} x z \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+2 z y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+3 x y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y,
$$
其中 $\Sigma$ 为曲面 $z=1-x^2-\frac{y^2}{4}(0 \leq z \leq 1)$ 的上侧.
设二元函数
$$
f(x, y)= \begin{cases}x^2, & |x|+|y| \leq 1 \\ \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}, & 1 < |x|+|y| \leq 2\end{cases}
$$
计算二重积分 $\iint_D f(x, y) \mathrm{d} \sigma$ ，其中
$$
D=\{(x, y) \| x|+| y \mid \leq 2\}
$$
计算曲线积分 $\int_L \sin 2 x \mathrm{~d} x+2\left(x^2-1\right) y \mathrm{~d} y$ ，其中 $L$是曲线 $y=\sin x$ 上从点 $(0,0)$ 到点 $(\pi, 0)$ 的一段.
计算 $\iint_D \max \{x y, 1\} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D=\{(x, y) \mid 0 \leq x \leq 2,0 \leq y \leq 2\}$
设 $a_n$ 为曲线 $y=x^n$ 与 $y=x^{n+1}(n=1,2, \cdots)$ 所围区域的面积，记 $S_1=\sum_{n=1}^{\infty} a_n ， S_2=\sum_{n=1}^{\infty} a_{2 n-1}$ ，求 $S_1$ 与 $S_2$ 的值
已知曲线 $L:\left\{\begin{array}{l}x=f(t) \\ y=\cos t\end{array}\left(0 \leq t < \frac{\pi}{2}\right)\right.$ ，其中函数 $f(t)$ 具有连续导数，且 $f(0)=0 ， f^{\prime}(t)>0\left(0 \leq t < \frac{\pi}{2}\right)$. 若曲线 $L$ 的切线与 $x$ 轴的交点到切点的距离恒为 1 ，求函数 $f(t)$ 的表达式，并求以曲线 $\boldsymbol{L}$ 与 $\boldsymbol{x}$ 轴与 $\boldsymbol{y}$ 轴为边界的区域的面积.
设曲线 $L$ 的方程为 $y=\frac{1}{4} x^2-\frac{1}{2} \ln x(1 \leq x \leq e)$.
(1) 求 $L$ 的弧长.
(2) 设 $D$ 是由曲线 $L$ ，直线 $x=1, x=e$ 及 $x$ 轴所围成的平面图形，求 $D$ 的形心的横坐标.
设平面区域 $D=\left\{(x, y) \mid 1 \leq x^2+y^2 \leq 4, x \geq 0, y \geq 0\right\}$ ，计算 $I=\iint_D \frac{x \sin \left(\pi \sqrt{x^2+y^2}\right)}{x+y} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$.
设平面区域 $D=\left\{(x, y) \mid 1 \leq x^2+y^2 \leq 4, x \geq 0, y \geq 0\right\}$ ，计算 $I=\iint_D \frac{x \sin \left(\pi \sqrt{x^2+y^2}\right)}{x+y} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$.
已知曲线 $L$ 的方程为 $\left\{\begin{array}{l}z=\sqrt{2-x^2-y^2} \\ z=x\end{array}\right.$ ，起点为 $A(0, \sqrt{2}, 0)$ ，终点为 $B(0,-\sqrt{2}, 0)$ ，计算曲线积分
$I=\int_L(y+z) \mathrm{d} x+\left(z^2-x^2+y\right) \mathrm{d} y+\left(x^2+y^2\right) \mathrm{d} z$
设函数 $f(x, y)$ 满足 $\frac{\partial f(x, y)}{\partial x}=(2 x+1) e^{2 x-y}$ ， $f(0, y)=y+1 ， L_t$ 是从点 $(0,0)$ 到点 $(1, t)$ 的光滑曲线，计算曲线积分
$$
I(t)=\int_{L_t} \frac{\partial f(x, y)}{\partial x} \mathrm{~d} x+\frac{\partial f(x, y)}{\partial y} \mathrm{~d} y,
$$
并求 $I(t)$ 的最小值.
设薄片型物体 $S$ 是圆锥面 $z=\sqrt{x^2+y^2}$ 被柱面 $z^2=2 x$割下的有限部分，其上任一点密度为
$$
\mu(x, y, z)=9 \sqrt{x^2+y^2+z^2} 。
$$
记圆锥与柱面的交线为 $C$ :
(1) 求 $C$ 在 $x O y$ 平面上的投影曲线的方程;
(2) 求 $S$ 的质量 $M$.
求曲线 $y=e^{-x} \sin x(x \geq 0)$ 与 $x$ 轴所围图形的面积.
设 $n$ 是正整数，记 $S_n$ 是 $y=e^{-x} \sin x(0 \leq x \leq n \pi)$ 的图形与 $x$ 轴所围图形的面积，求 $S_n$ ，并求 $\lim _{n \rightarrow \infty} S_n$.
求曲线 $y=e^{-x} \sin x(x \geq 0)$ 与 $x$ 轴所围图形的面积.
计算曲线积分
$$
I=\int_L \frac{4 x-y}{4 x^2+y^2} \mathrm{~d} x+\frac{x+y}{4 x^2+y^2} \mathrm{~d} y
$$
其中 $L$ 为 $x^2+y^2=2$ ，方向取逆时钟方向.
设 $\Sigma$ 为曲面
$$z=\sqrt{x^2+y^2}\left(1 \leq x^2+y^2 \leq 4\right)$$ 的下侧， $f(x)$ 为连续函数，计算曲面积分
$$
I= \iint_{\Sigma}[x f(x y)+2 x-y] \mathrm{d} y \mathrm{~d} z +[y f(x y)+2 y+x] \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+[z f(x y)+z] \mathrm{d} x \mathrm{~d} y
$$
已知函数 $f(x)$ 可导，且 $f^{\prime}(x)>0$. 曲线 $y=f(x)(x \geq 0)$ 经过坐标原点 $O$ ，其上任意一点 $M$ 处的切线与 $x$ 轴相交于点 $T$ ，过点 $M$ 做 $M P$ 垂直于 $x$ 轴于点 $P$ ，且曲线 $y=f(x)$ 、直线 $M P$ 以及 $x$ 轴所围成图形的面积与三角形 $M T P$ 的面积比恒为 $3: 2$ ，求满足上述条件曲线方程.
设有界区域 $D$ 是 $x^2+y^2=1$ 和直线 $y=x$ 及 $x$ 轴在第一象限围成的 部分，计算二重积分
$$
I=\iint_D e^{(x+y)^2}\left(x^2-y^2\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y
$$
计算二重积分 $\iint_D \frac{(x-y)^2}{\vec{x}^2+y^2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中区域 $D$ 为 $y=x+2$ 与 $y=\sqrt{4-x^2}$ 以及 $x$ 轴所围成的区域.
设 $L$ 是曲面
$$
\Sigma: 4 x^2+y^2+z^2=1, x \geq 0, y \geq 0, z \geq 0
$$
的边界，曲面方向朝上，已知曲线 $L$ 的方向和曲面的方向符
合右手法则，求曲线积分
$$
I=\oint_L\left(y z^2-\cos z\right) \mathrm{d} x+2 x z^2 \mathrm{~d} y+(2 x y z+x \sin z) \mathrm{d} z
$$
设 $y(x)$ 是微分方程 $2 x y^{\prime}-4 y=2 \ln x-1$ 满足 $y(1)=\frac{1}{4}$ 的解，求曲线 $y=y(x)(1 \leq x \leq e)$ 的弧长.
计算二重积分 $\iint_D \frac{(x-y)^2}{x^2+y^2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中区域 $D$ 为 $y=x+2$ 与
$y=\sqrt{4-x^2}$ 以及 $x$ 轴所围成的区域。
设空间有界区域 $\Omega$ 由柱面 $x^2+y^2=1$ 与平面 $z=0$和 $x+z=1$ 围成. $\Sigma$ 为 $\Omega$ 的边界曲面的外侧. 计算曲面积分
$$
I=\oint_{\Sigma} 2 x z \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+x z \cos y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+3 y z \sin x \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y .
$$
已知平面区域 $D=\left\{(x, y) \mid(x-1)^2+y^2 \leq 1\right\}$ ，计算二重积分 $I=\iint_D\left|\sqrt{x^2+y^2}-1\right| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$.
已知向曲线 $L$ 是球面 $x^2+y^2+z^2=2 x$ 与平面 $2 x-z-1=0$ 的交线，从 $z$ 轴正向往 $z$ 轴负向看为逆时针方向，计算曲线积分
$$
I=\int_L\left(6 x y z-y z^2\right) \mathrm{d} x+2 x^2 z \mathrm{~d} y+x y z \mathrm{~d} z
$$
设有界区域 $D$ 位于第一象限，由曲线 $x y=\frac{1}{3}, x y=3$与直线 $y=\frac{1}{3} x, y=3 x$ 围成，计算 $I=\iint_D(1+x-y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$.
设 $t>0$ ，平面有界区域 $D$ 由曲线 $y=x \mathrm{e}^{-2 x}$ 与直线 $x=t, x=2 t$ 及 $x$ 轴围成， $D$ 的面积为 $S(t)$ ，求 $S(t)$ 的最大值.