设函数 $f(x, y)$ 满足 $\frac{\partial f(x, y)}{\partial x}=(2 x+1) e^{2 x-y}$ ， $f(0, y)=y+1 ， L_t$ 是从点 $(0,0)$ 到点 $(1, t)$ 的光滑曲线，计算曲线积分
$$
I(t)=\int_{L_t} \frac{\partial f(x, y)}{\partial x} \mathrm{~d} x+\frac{\partial f(x, y)}{\partial y} \mathrm{~d} y,
$$

并求 $I(t)$ 的最小值.