已知曲线 $L:\left\{\begin{array}{l}x=f(t) \\ y=\cos t\end{array}\left(0 \leq t < \frac{\pi}{2}\right)\right.$ ，其中函数 $f(t)$ 具有连续导数，且 $f(0)=0 ， f^{\prime}(t)>0\left(0 \leq t < \frac{\pi}{2}\right)$. 若曲线 $L$ 的切线与 $x$ 轴的交点到切点的距离恒为 1 ，求函数 $f(t)$ 的表达式，并求以曲线 $\boldsymbol{L}$ 与 $\boldsymbol{x}$ 轴与 $\boldsymbol{y}$ 轴为边界的区域的面积.