一、解答题 （ 共 7 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
计算曲面积分 $\iint_{\Sigma}\left(x^{3}+a z^{2}\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\left(y^{3}+a x^{2}\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+\left(z^{3}+a y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$, 其中 $\Sigma$ 为上半球面 $z=$ $\sqrt{a^{2}-x^{2}-y^{2}}$ 的上侧.
计算曲面积分 $\iint_{S} \frac{x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+z^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$, 其中 $S$ 是由曲面 $x^{2}+y^{2}=R^{2}$ 及两平面 $z=R, z=-R(R>0)$ 所 围成立体表面的外侧.
计算曲面积分 $\iint_{S}(2 x+z) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$, 其中 $S$ 为有向曲面 $z=x^{2}+y^{2}(0 \leqslant z \leqslant 1)$, 其法向量与 $z$ 轴正向的夹角为锐角.
计算曲线 $y=\ln \left(1-x^2\right)$ 上相应于 $0 \leq x \leq \frac{1}{2}$ 的一段弧的长度.
求曲线 $y=\sqrt{x}$ 的一条切线 $l$ ，使该曲线与切线 $l$ 及直线 $x=0, x=2$ 所围成的平面图形面积最小.
设曲线 $L$ 的极坐标方程为 $r=r(\theta), M(r, \theta)$ 为 $L$ 上任一点， $M_0(2,0)$ 为 $L$ 上一定点，若极径 $O M_0, O M$ 与曲线 $L$ 所围成的曲边扇形面积值等于 $L$ 上 $M_0, M$ 两点间弧长值的一半，求曲线 $L$ 的直角坐标方程.
设 $D$ 是以点 $O(0,0), A(1,2)$ 和 $B(2,1)$ 为顶点的三角形区域，求 $\iint_D x \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$.