(1)【分析一】见下图所示, $S$ 在 $x O y$ 平面与 $y O z$ 平面上的投影均易求出, 分别为
\begin{aligned} &D_{x y}: x^{2}+y^{2} \leq 1 ; \\ &D_{y z}:-1 \leq y \leq 1, y^{2} \leq z \leq 1, \text { 或 } 0 \leq z \leq 1,-\sqrt{z} \leq y \leq \sqrt{z} \end{aligned}

【分析二】令 $P(x, y, z)=2 x+z, Q(x, y, z)=0, R(x, y, z)=z$, 则 $I=\iint_{S} P d y d z+R d x d y$.

【解析】方法一: 均投影到平面 $x O y$ 上, 则
$$I=\iint_{S}(2 x+z) d y d z+z d x d y=\iint_{D_{\mathrm{xy}}}\left[(2 x+z)\left(-\frac{\partial z}{\partial x}\right)+\left(x^{2}+y^{2}\right)\right] d x d y,$$

$$I=\iint_{D_{x y}}-4 x^{2} d x d y-\iint_{D_{x y}} 2 x\left(x^{2}+y^{2}\right) d x d y+\iint_{D_{x y}}\left(x^{2}+y^{2}\right) d x d y,$$

$$\iint_{D_{x y}} 2 x\left(x^{2}+y^{2}\right) d x d y=0, \iint_{D_{x y}} 4 x^{2} d x d y=2 \iint_{D_{x y}}\left(x^{2}+y^{2}\right) d x d y,$$

$$I=-\iint_{D_{x y}}\left(x^{2}+y^{2}\right) d x d y .$$

$$I=-\int_{0}^{2 \pi} d \theta \int_{0}^{1} r^{3} d r=-2 \pi\left[\frac{1}{4} r^{4}\right]_{0}^{1}=-\frac{\pi}{2} .$$

（见图 1), 则
$$I=\iint_{S_{1}}(2 x+z) d y d z+\iint_{S_{2}}(2 x+z) d y d z+\iint_{S} z d x d y .$$

\begin{aligned} I &=-\iint_{D_{y z}}\left(2 \sqrt{z-y^{2}}+z\right) d y d z+\iint_{D_{y z}}\left(-2 \sqrt{z-y^{2}}+z\right) d y d z+\iint_{D_{x y}}\left(x^{2}+y^{2}\right) d x d y \\ &=-4 \iint_{D_{y z}} \sqrt{z-y^{2}} d y d z+\iint_{D_{x y}}\left(x^{2}+y^{2}\right) d x d y \end{aligned}

$$\iint_{D_{y=}} \sqrt{z-y^{2}} d y d z=\int_{-1}^{1} d y \int_{y^{2}}^{1} \sqrt{z-y^{2}} d z=\left.\int_{-1}^{1} \frac{2}{3}\left(z-y^{2}\right)^{\frac{3}{2}}\right|_{z=y^{2}} ^{z=1} d y$$
\begin{aligned} &=\frac{4}{3} \int_{0}^{1}\left(1-y^{2}\right)^{\frac{3}{2}} d y \\ &=\frac{4}{3} \cdot \frac{3}{4 \cdot 2} \cdot \frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{4}, \end{aligned}

$$\iint_{D_{j z}} \sqrt{z-y^{2}} d y d z=\int_{0}^{1} d z \int_{-\sqrt{z}}^{\sqrt{z}} \sqrt{z-y^{2}} d y=\int_{0}^{1} \frac{1}{2} \pi(\sqrt{z})^{2} d z=\frac{\pi}{4} .$$
(这里 $\int_{-\sqrt{z}}^{\sqrt{z}} \sqrt{z-y^{2}} d y$ 是半径为 $\sqrt{z}$ 的圆面积的一半.)
$$\iint_{D_{\text {xy }}}\left(x^{2}+y^{2}\right) d x d y=\frac{\pi}{2} \text { (同方法一). }$$

$$\iint_{S_{1}}(2 x+z) d y d z+z d x d y=\iint_{S_{1}} d x d y=-\iint_{D} 1 d x d y=-\pi,$$

$S$ 与 $S_{1}$ 即 $z=x^{2}+y^{2}$ 与 $z=1$ 围成区域 $\Omega, S$ 与 $S_{1}$ 的法向量指向 $\Omega$ 内部, 所以在 $\Omega$ 上

\begin{aligned} \iint_{s \cup s_{1}}(2 x+z) d y d z+z d x d y &=-3 \iiint_{\Omega} d V \\ &=-3 \int_{0}^{1} d z \iint_{D(z)} d x d y=-3 \int_{0}^{1} \pi z d z=-\frac{3 \pi}{2}, \end{aligned}