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设 $f(x)$ 是区间 $[0,1)$ 上单调减少且非负的连续函数，
$$
a_n=\sum_{k=1}^n f(k)-\int_1^n f(x) \mathrm{d} x(n=1,2, \cdots) .
$$

证明：数列 $\left\{a_n\right\}$ 的极限存在.
                        
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