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试卷5

数学

本试卷总分150分,考试时间120分钟。

注意事项:

答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在本试卷上无效。

考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。

学校：_______________ 姓名：_____________ 班级：_______________ 学号：_______________

一、单选题（共 40 题），每题只有一个选项正确

1. 已知正四棱锥的侧棱长为 1 , 其各顶点都仕同一球面上. 若该球的体积为

36 π

, 且

3 ⩽ 1 ⩽ 3 \sqrt{3}

, 则该正四棱雉体积的取值范围是

A.

[18, \frac{81}{4}]

B.

[\frac{27}{4}, \frac{81}{4}]

C.

[\frac{27}{4}, \frac{64}{3}]

D.

[18, 27]

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2. 已知

a = 3^{0.2}, b = \log_{6} 7, c = \log_{5} 6

, 则

A.

a > b > c

B.

b > c > a

C.

a > c > b

D.

b > a > c

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3. 如图, 已知正方体

A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}

的中心为

O

, 则下列结论中
1.

\vec{O A} + \vec{O D}

与

{\vec{O A}}_{1} + {\vec{O D}}_{1}

是一对相反向量;

2.

\vec{O B} - {\vec{O C}}_{1}

与

\vec{O C} - {\vec{O B}}_{1}

是一对相反向量;

3.

{\vec{O A}}_{1} + {\vec{O B}}_{1} + {\vec{O C}}_{1} + {\vec{O D}}_{1}

与

\vec{O D} + \vec{O C} + \vec{O B} + \vec{O A}

是一对相反向量;

4.

\vec{O C} - \vec{O A}

与

{\vec{O C}}_{1} - {\vec{O A}}_{1}

是一对相反向量.
正确结论的个数为

A.

B.

C.

D.

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4. 已知平面向量

\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}

满足

| \vec{a} | = | \vec{b} | = \vec{a} \cdot \vec{b} = 2

, 且

(\vec{b} - \vec{c}) \cdot (3 \vec{b} - \vec{c}) = 0

, 则

| \vec{c} - \vec{a} |

最小值为

A.

2 \sqrt{2} + 1

B.

3 \sqrt{3} - 3

C.

\sqrt{7} - 1

D.

2 \sqrt{3} - 2

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5. 已知函数

f (x) = {\begin{matrix} {(\frac{1}{3})}^{x}, x ⩽ 0, \\ \log_{3} x - 2, x > 0, \end{matrix}

则

f (f (- 3))

的值为

A.

- 3

B.

- 2

C.

D.

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6. 已知函数

y = a^{x + 4} + 2 (a > 0

, 且

a \neq 1)

的图象恒过点

P

, 若角

α

的终边经过点

P

, 则

\cos α

的值为

A.

- \frac{4}{5}

B.

- \frac{2 \sqrt{2}}{3}

C.

\frac{\sqrt{2}}{3}

D.

\frac{3}{5}

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7. 如图的曲线就像横放的葫芦的轴截面的边缘线, 我们叫葫芦曲线(也像湖面上高低起伏的小岛在水中的倒影与自身形成的图形, 也可以形象地称它为倒影曲线), 它对应的方程为

| y | = (3 - \frac{1}{3} [\frac{3 x}{π}]) \cdot | \sin ω x | (0 ⩽ x ⩽ 3 π)

(其中记

[x]

为不超过

x

的最大整数), 且过点

P (\frac{π}{6}, 3)

, 若葫芦曲线上一点

M

到

y

轴的距离为

\frac{17 π}{6}

, 则点

M

到

x

轴的距离为

A.

\frac{1}{2}

B.

\frac{\sqrt{3}}{2}

C.

\frac{1}{3}

D.

\frac{\sqrt{3}}{3}

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8. 若棱长为

2 \sqrt{3}

的正方体的顶点都在同一球面上, 则该球的表面积为 ( )

A.

12 π

B.

24 π

C.

36 π

D.

144 π

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9. 已知函数

f (x) = {\begin{cases} x^{3}, & x . .0, \\ - x, & x < 0 . \end{cases}

若函数

g (x) = f (x) - | k x^{2} - 2 x | (k \in R)

恰有 4 个零点, 则

k

的取值范围是 ( )

A.

(- \infty, - \frac{1}{2}) \cup (2 \sqrt{2}, + \infty)

B.

(- \infty, - \frac{1}{2}) \cup (0, 2 \sqrt{2})

C.

(- \infty, 0) \cup (0, 2 \sqrt{2})

D.

(- \infty, 0) \cup (2 \sqrt{2}, + \infty)

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10. 函数

f (x) = \ln x - x

在

(0, e]

上的最大值为

A.

- 1

B.

C.

1 - e

D.

e

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11. 若函数

f (x) = k x + \ln x

在区间

(1 ， 3)

上单调递增，则实数

k

的取值范围是

A.

[- 1, + \infty)

B.

[- \frac{1}{6}, + \infty)

C.

[- \frac{1}{3}, + \infty)

D.

(- \infty, - 1]

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12. 祖晅是我国南北朝时代的伟大科学家. 他提出的 “幂势既同, 则积不容易” 称为祖㫜原理, 利用该原理可以得到柱体体积公式

V

梇伡

= S h

, 其中

S

是柱体的底面积,

h

是柱体的高. 若某柱体的三视图如图所示, 则该柱体的体积是

A.

158

B.

162

C.

182

D.

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13. 设三棱雉

V - A B C

的底面是正三角形, 侧棱长均相等,

P

是棱

V A

上的点 (不含端点), 记直线

P B

与直线

A C

所成角为

α

, 直线

P B

与平面

A B C

所成角为

β

, 二面角

P - A C - B

的平面角为

γ

, 则

A.

β < γ, α < γ

B.

β < α, β < γ

C.

β < α, γ < α

D.

α < β, γ < β

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14. 已知向量

\vec{a}, \vec{b}

, 的夹角为

\frac{π}{3}

, 且

| \vec{a} | = 2, | \vec{b} | = 3

, 则

\vec{a} \cdot (\vec{b} - \vec{a}) = (

)

A.

- 1

B.

3 \sqrt{3} - 4

C.

- 2

D.

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15. 下列四个向量中, 与向量

a = (- 2, 3)

共线的是

A.

(3, 2)

B.

(3, - 2)

C.

(4, - 6)

D.

(4, 6)

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16. 已知

F_{1}, F_{2}

分别是椭圆

C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)

的左、右焦点, 点

P, Q

是

C

上位于

x

轴上方的任意两点, 且

P F_{1} / / Q F_{2}

. 若

| P F_{1} | + | Q F_{2} | ⩾ b

, 则

C

的离心率的取值范围是

A.

(0, \frac{1}{2}]

B.

[\frac{1}{2}, 1)

C.

(0, \frac{\sqrt{3}}{2}]

D.

[\frac{\sqrt{3}}{2}, 1)

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17. 不等式

(1 + x) (2 - x) > 0

的解集为

A.

(- \infty, - 1) \cup (2, + \infty)

B.

(- 1, 2)

C.

(- \infty, - 2) \cup (1, + \infty)

D.

(- 2, 1)

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18. 若

a 、 b 、 c

是常数, 则 “

a > 0

且

b^{2} - 4 a c < 0

”是 “对任意

x \in R

, 有

a x^{2} + b x + c > 0

”的

A.

充分不必要条件

B.

必要不充分条件

C.

充要条件

D.

即不充分也不必要条件

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19. 设集合

M = {x \in N ∣ y = \lg (3 - x)}, N = {y ∣ y = 2^{x}, x \in M}

, 则

A.

M \subseteq N

B.

N \subseteq M

C.

M \cap N = {0, 1, 2}

D.

M \cup N = {0, 1, 2, 4}

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20. 命题 “存在实数

x_{0}

, 使

e^{x_{0}} > \frac{1}{x_{0}}

” 的否定是

A.

不存在实数

x_{0}

, 使

e^{x_{0}} \leq \frac{1}{x_{0}}

B.

存在实数

x_{0}

, 使

e^{x_{0}} \leq \frac{1}{x_{0}}

C.

对任意的实数

x

, 都有

e^{x} \leq \frac{1}{x}

D.

对任意的实数

x

, 都有

e^{x} > \frac{1}{x}

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21. 已知

F

为双曲线

C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)

的另焦点,

A

为

C

的左顶点,

B

为

C

上的点, 且

B F

垂直于

x

轴, 若直线

A B

的倾角为

\frac{π}{4}

,则双曲线

C

的离心率为

A.

\sqrt{2}

B.

\sqrt{3}

C.

D.

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22. 双曲函数在实际生活中有着非常重要的应用, 比如悬链桥. 在数学中, 双曲函数是一类与三角函数类似的函数, 最基础的是双曲正弦函数

\sinh x = \frac{e^{x} - e^{- x}}{2}

和双曲余弦函数

\cosh x = \frac{e^{x} + e^{- x}}{2}

. 下列结论错误的是

A.

双曲正弦函数图象关于原点中心对称, 双曲余弦函数图象关于

y

轴对称

B.

若直线

y = m

与双曲余弦函数图象

C_{1}

和双曲正弦函数图象

C_{2}

共有三个交点, 则

m \geq 1

C.

双曲余弦函数图象

C_{1}

总在双曲正弦函数图象

C_{2}

上方

D.

双曲正弦函数

\sinh x = \frac{e^{x} - e^{- x}}{2}

导函数的图象与双曲余弦函数图象重合

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23. 如图, 直四棱柱

A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}

的底面是边长为 3 的正方形, 侧棱长为

4, E, F

分别在

A B, B C

上, 且

\vec{A E} = \frac{1}{3} \vec{A B}, \vec{C F} = \frac{1}{3} \vec{C B}

, 过

D_{1}, E, F

的平面记为

a

, 则下列说法中正确的个数是
①

D_{1} F

与面

A B C D

所成角的正切值为

\frac{2 \sqrt{10}}{5}

;
②平面

a

截直四棱柱

A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}

所得截面的形状为四边形;
③平面

a

将直四棱柱分割成的上、下两部分的体积之比为

3 : 1

;
④)平面

a

截直四棱柱

A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}

所得截面的面积为

7 \sqrt{3}

;

A.

B.

C.

D.

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24. 已知集合

A = {x ∣ x^{2} - 4 x - 5 < 0}, B = {y ∣ y = \ln (x^{2} + 1)}

, 则

A \cap B =

A.

(- 1, 5)

B.

[0, 5)

C.

(- 1, + \infty)

D.

[0, 1)

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25. 已知平面向量

a, b

满足

| a | = 2, b = (1, 1), | a + b | = \sqrt{10}

, 则

a

在

b

上的投影向量的坐标为

A.

(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})

B.

(1, 1)

C.

(- 1, - 1)

D.

(- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})

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26. 在

△ A B C

中, “

\tan A \tan B < 1

”是“

△ A B C

为针角三角形”的

A.

充分不必要条件

B.

必要不充分条件

C.

充要条件

D.

既不充分也不必要条件

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27. 已知双曲线

C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)

的左、右焦点分别为

F_{1}, F_{2}

, 过

F_{1}

作直线

l

与

C

的左、右两支分别交于

M, N

两点, 且

△ M N F_{2}

是以

∠ M N F_{2}

为顶角的等腰直角三角形, 若

C

的离心率为

e

, 则

e^{2} =

A.

5 + 3 \sqrt{3}

B.

5 + 3 \sqrt{2}

C.

5 + 2 \sqrt{2}

D.

5 + 2 \sqrt{3}

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28. 若不等式

e^{x - 1} - m x - 2 n - 3 ⩾ 0

对

\forall x \in R

恒成立, 其中

m \neq 0

, 则

\frac{n}{m}

的最大值为

A.

- \frac{\ln 3 e}{2}

B.

- \ln 3 e

C.

\ln 3 e

D.

\frac{\ln 3 e}{2}

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29. 已知集合

M = {y ∣ y = 2^{x}}, N = {y ∣ y = \sqrt{1 - x^{2}}}

, 则

M \cap N =

A.

{x ∣ 0 < x < 1}

B.

{x ∣ 0 < x ⩽ 1}

C.

{x ∣ x ⩽ 1}

D.

{x ∣ x > 0}

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30. 已知向量

a = (- 2, m), b = (1, - 2)

, 若

a ⊥ b

, 则

m

的值为

A.

B.

-1

C.

D.

-2

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31. “

m = - 1

"是“直线

l_{1} : m x + 2 y + 1 = 0

与直线

l_{2} : \frac{1}{2} x + m y + \frac{1}{2} = 0

平行" 的

A.

充要条件

B.

必要不充分条件

C.

充分不必要条件

D.

即不充分也不必要条件

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32. 若曲线

y = \ln x + x^{2}

的一条切线的斜率为 3 , 则该切线的方程可能为

A.

3 x - y - 1 = 0

B.

3 x - y + 1 = 0

C.

3 x - y - 2 = 0

D.

3 x - y - 1 - \ln 2 = 0

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33. 如图, 在正方体

A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}

中,

A B = 2, P

为

C C_{1}

的中点, 点

Q

在四边形

D C C_{1} D_{1}

内 (包括边界)运动, 若

A Q / /

平面

A_{1} B P

, 则

A Q

的最小值为

A.

1

B.

\frac{3 \sqrt{2}}{2}

C.

\sqrt{5}

D.

\sqrt{7}

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34. 已知点

M

在抛物线

C : y^{2} = 2 p x (p > 0)

上, 若以点

M

为圆心半径为 5 的圆与抛物线

C

的准线相切, 且与

x

轴相交的弦长为 6 , 则

p =

A.

B.

C.

2 或 8

D.

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35. 已知集合

A = {x ∣ x^{2} - 2 x - 3 < 0}, B = {x ∣ y = \lg (x - 1)}

, 则

A \cap B =

A.

(3, + \infty)

B.

(- 1, + \infty)

C.

(- 1, 1)

D.

(1, 3)

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36. 已知边长为 2 的等边

△ A B C, O

为其中心, 对(1)

| \vec{A B} + \vec{B C} + \vec{C A} | = 6

; (2)

\vec{A B} \cdot \vec{A C} = 2

;
(3)

| \vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} | = 0

; (4)

3 \vec{A O} \cdot \vec{O B} = 2

这四个等式, 正确的个数是

A.

B.

C.

D.

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37. 有一个圆台型的密闭盒子 (表面不计厚薄), 其母线与下底面成

60^{\circ}

角, 且母线长恰好等于上下底半径之和, 在圆台内放置一个球, 当球体积最大时, 设球的表面积为

S_{1}

, 圆台的侧面积为

S_{2}

, 则 ( )

A.

S_{1} > S_{2}

B.

S_{1} < S_{2}

C.

S_{1} = S_{2}

D.

无法确定

S_{1}

与

S_{2}

的大小

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38. 在

△ A B C

中,

A B = 5, A C = 3, \tan A = \frac{4}{3}

, 点

M, N

分别在边

A B, B C

移动, 且

M N = B N

, 沿

M N

将

△ B M N

折起来得到棱雉

B - A M N C

, 则该棱雉的体积的最大值是

A.

\frac{16 \sqrt{2}}{15}

B.

\frac{16 \sqrt{3}}{15}

C.

\frac{16 \sqrt{6}}{15}

D.

\frac{309}{128}

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39. 如图, 正四棱台

A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}

中, 点

E, F, G

分别是棱

C_{1} D_{1}, D_{1} A_{1}, A_{1} B_{1}

的中点, 则下列判断中, 不正确的是

A.

B, B_{1}, D_{1}, D

共面

B.

F \in

平面

A C E

C.

F G ⊥

平面

A C E

D.

A_{1} C_{1} / /

平面

A C E

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40. 若

2 x - 1 = \sqrt{(x - 2)^{2} + y^{2}}

, 则

\sqrt{(x + 2)^{2} + y^{2}} + \sqrt{(x - 2)^{2} + y^{2}}

的最小值是

A.

B.

C.

D.

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