题号:2173    题型:单选题    来源:2023届湖南师大附中高三第一次月考数学
类型:月考
已知边长为 2 的等边 $\triangle A B C, O$ 为其中心, 对(1) $|\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{C A}|=6$; (2) $\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C}=2$;
(3) $|\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O C}|=0$; (4) $3 \overrightarrow{A O} \cdot \overrightarrow{O B}=2$ 这四个等式, 正确的个数是
$A.$ 1 $B.$ 2 $C.$ 3 $D.$ 4
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答案:
C

解析:

解析: (1) $\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{C A}=\overrightarrow{0}$, 所以错误; (2) $\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C}=|\overrightarrow{A B}| \cdot|\overrightarrow{A C}| \cos 60^{\circ}=2 \times 2 \times \frac{1}{2}=2$, 正确; (3) $\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O C}=\overrightarrow{0}$, 正确(4) $|\overrightarrow{O A}|=\frac{2 \sqrt{3}}{3},\langle\overrightarrow{O A}, \overrightarrow{O B}\rangle=\frac{2 \pi}{3} 3 \overrightarrow{A O} \cdot \overrightarrow{O B}=-3 \overrightarrow{O A} \cdot \overrightarrow{O B}=-3|\overrightarrow{O A}| \cdot|\overrightarrow{O B}| \cos 120^{\circ}$; $=-3 \times \frac{2 \sqrt{3}}{3} \times \frac{2 \sqrt{3}}{3} \times\left(-\frac{1}{2}\right)=2$. 故选 $\mathbf{C}$

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