题号:2176    题型:单选题    来源:2023届湖南师大附中高三第一次月考数学
类型:月考
有一个圆台型的密闭盒子 (表面不计厚薄), 其母线与下底面成 $60^{\circ}$ 角, 且母线长恰好等于上下底 半径之和, 在圆台内放置一个球, 当球体积最大时, 设球的表面积为 $S_1$, 圆台的侧面积为 $S_2$, 则 ( )
$A.$ $S_1 > S_2$ $B.$ $S_1 < S_2$ $C.$ $S_1=S_2$ $D.$ 无法确定 $S_1$ 与 $S_2$ 的大小
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答案:
B

解析:

球体积最大时, 该球为圆台的内切球, 如图, 作出圆台的轴截面, 设上底面半径为 $r$,则下底面半径为 $3 r$, 母线长为 $4 r$, 球的半径为 $\sqrt{3} r$, 故 $S_1=4 \pi(\sqrt{3} r)^2=12 \pi r^2$, $S_2=\pi(r+3 r) 4 r=16 \pi r^2$, 于是 $S_1 < S_2$, 故选 B.

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