已知双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0, b>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_1, F_2$, 过 $F_1$ 作直线 $l$ 与 $C$ 的左、右两支分 别交于 $M, N$ 两点, 且 $\triangle M N F_2$ 是以 $\angle M N F_2$ 为顶角的等腰直角三角形, 若 $C$ 的离心率为 $e$, 则 $e^2=$
$\text{A.}$ $5+3 \sqrt{3}$
$\text{B.}$ $5+3 \sqrt{2}$
$\text{C.}$ $5+2 \sqrt{2}$
$\text{D.}$ $5+2 \sqrt{3}$