题号:2087    题型:单选题    来源:2023届皖南八校高三开学考试
类型:模拟考试
如图, 在正方体 $A B C D-A_1 B_1 C_1 D_1$ 中, $A B=2, P$ 为 $C C_1$ 的中点, 点 $Q$ 在四边形 $D C C_1 D_1$ 内 (包括边界)运动, 若 $A Q / /$ 平面 $A_1 B P$, 则 $A Q$ 的最小值为
$A.$ $1$ $B.$ $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ $C.$ $\sqrt{5}$ $D.$ $\sqrt{7}$
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答案:
B

解析:

取 $D D_1, D C$ 的中点分别为 $M, N$, 连接 $A M, M N, A N$, 则易证明 $A M / / B P$, 因为 $A M \not \subset$ 平面 $A_1 B P, B P \subset$ 平面 $A_1 B P$, 所以 $A M / /$ 平面 $A_1 B P$, 又因为 $A_1 B / /$ $M N, M N \not \subset$ 平面 $A_1 B P, A_1 B \subset$ 平面 $A_1 B P$, 所以 $M N / /$ 平面 $A_1 B P, M N \cap A M=$ $M$,所以平面 $A_1 B P / /$ 平面 $A M N, A Q \subset$ 平面 $A M N$, 所以 $A Q / /$ 平面 $A_1 B P$, 当 $A Q \perp M N$ 时, $A Q$ 有最小值, 则易求出 $A M=A N=\sqrt{5}, M N=\sqrt{2}, Q$ 为 $M N$ 的中点, $A Q=\sqrt{A N^2-\left(\frac{M N}{2}\right)^2}=\frac{3 \sqrt{2}}{2}$, 所以 $A Q$ 的最小值为 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$, 故选 $B$.

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