题号:1367    题型:单选题    来源:2020 年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)
已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x^{3}, & x . .0, \\ -x, & x < 0 .\end{array}\right.$ 若函数 $g(x)=f(x)-\left|k x^{2}-2 x\right| \quad(k \in \mathbf{R})$ 恰有 4 个零点, 则 $k$ 的取值范围 是 ( )
$A.$ $\left(-\infty,-\frac{1}{2}\right) \cup(2 \sqrt{2},+\infty)$ $B.$ $\left(-\infty,-\frac{1}{2}\right) \cup(0,2 \sqrt{2})$ $C.$ $(-\infty, 0) \cup(0,2 \sqrt{2})$ $D.$ $(-\infty, 0) \cup(2 \sqrt{2},+\infty)$
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答案:
D

解析:

注意到 $g(0)=0$, 所以要使 $g(x)$ 恰有 4 个零点, 只需方程 $|k x-2|=\frac{f(x)}{|x|}$ 恰有 3 个实根 即可,
令 $h(x)=\frac{f(x)}{|x|}$, 即 $y=|k x-2|$ 与 $h(x)=\frac{f(x)}{|x|}$ 的图象有 3 个不同交点.
因为 $h(x)=\frac{f(x)}{|x|}=\left\{\begin{array}{cc}x^{2}, & x > 0 \\ 1, & x < 0\end{array}\right.$,
当 $k=0$ 时, 此时 $y=2$, 如图 $1, y=2$ 与 $h(x)=\frac{f(x)}{|x|}$ 有 2 个不同交点, 不满足题意;
当 $\mathrm{k} < 0$ 时, 如图 2, 此时 $y=|k x-2|$ 与 $h(x)=\frac{f(x)}{|x|}$ 恒有 3 个不同交点, 满足题意; 当 $k > 0$ 时, 如图 3, 当 $y=k x-2$ 与 $y=x^{2}$ 相切时, 联立方程得 $x^{2}-k x+2=0$,
令 $\Delta=0$ 得 $k^{2}-8=0$, 解得 $k=2 \sqrt{2}$ (负值舍去), 所以 $k > 2 \sqrt{2}$.
综上, $k$ 的取值范围为 $(-\infty, 0) \cup(2 \sqrt{2},+\infty)$.
故选: D.


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