题号:2011    题型:单选题    来源:2022-2023湖北九师联盟高三上学期开学数学摸底考试
在 $\triangle A B C$ 中, “ $\tan A \tan B < 1$ ”是“ $\triangle A B C$ 为针角三角形”的
$A.$ 充分不必要条件 $B.$ 必要不充分条件 $C.$ 充要条件 $D.$ 既不充分也不必要条件
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答案:
C

解析:

$\tan A \tan B < 1 \Leftrightarrow 1-\frac{\sin A \sin B}{\cos A \cos B} > 0 \Leftrightarrow \frac{\cos (A+B)}{\cos A \cos B} > 0 \Leftrightarrow \frac{-\cos C}{\cos A \cos B} > 0 $

$\Leftrightarrow \cos A \cos B \cos C < 0 \Leftrightarrow \triangle A B C$ 为钝角三角 形.

所以在 $\triangle A B C$ 中, “ $\tan A \tan B < 1$ ” 是“ $\triangle A B C$ 为钝角三角形”的充要条件. 故选 $C$.
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