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试卷3

数学

本试卷总分150分,考试时间120分钟。

注意事项:

答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在本试卷上无效。

考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。

学校：_______________ 姓名：_____________ 班级：_______________ 学号：_______________

一、单选题（共 40 题），每题只有一个选项正确

1. 已知

f (x) = \frac{x e^{x}}{e^{a x} - 1}

是偶函数, 则

a =

A.

-2

B.

-1

C.

D.

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2. 设

O

为平面坐标系的坐标原点, 在区域

{(x, y) ∣ 1 ⩽ x^{2} + y^{2} ⩽ 4}

内随机取一点, 记该点为

A

, 则直线

O A

的倾斜角不大于

\frac{π}{4}

的概率为

A.

B.

\frac{1}{6}

C.

\frac{1}{4}

D.

\frac{1}{2}

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3. 甲乙两位同学从 6 种课外读物中各自选读 2 种, 则这两人选读的课外读物中恰有 1 种相同的选法共有

A.

30 种

B.

60 种

C.

120 种

D.

240 种

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4. 如图, 是某校随机抽取 50 名学生的身高与体重的散点图, 则下列说法正确的是

A.

身高越高, 体重越重;

B.

身高越高, 体重越轻;

C.

身高与体重成正相关；

D.

身高与体重成负相关.

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5. 设

a > 0

, 函数

y = \sin x

在

[a, 2 a]

上的最小值为

s_{a}

, 在

[2 a, 3 a]

上的最小值为

t_{a}

, 当

a

变化时, 则下列选项不可能的是

A.

s_{a} > 0, t_{a} > 0

B.

s_{a} < 0, t_{a} < 0

C.

s_{a} > 0, t_{a} < 0

D.

s_{a} < 0, t_{a} > 0

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\forall x \in R

, 都有

f (x^{2} + x + 1) + 3 f (x^{2} - 3 x + 3) = 4 x^{2} - 8 x + 16

, 则

A.

f (2) = 3

B.

存在

p

, 使得

f (p) = 2023

C.

f (1) = 0

D.

存在

p

. 使得

f (p) = - 2023

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7. 要得到函数

y = {(\frac{1}{2})}^{2 x - 1}

的图象, 只需将指数函数

y = {(\frac{1}{4})}^{x}

的图象

A.

向左平移 1 个单位

B.

向右平移 1 个单位

C.

向左平移

\frac{1}{2}

个单位

D.

向右平移

\frac{1}{2}

个单位

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8. 将函数

f (x) = \sin (x + \frac{π}{3}) + 1

的图象上的点横坐标变为原来的

\frac{1}{2}

(纵坐标变) 得到函数

g (x)

的图象, 若存在

θ \in (0, π)

, 使得

g (x) + g (θ - x) = 2

对任意

x \in R

恒成立, 则

θ = ()

A.

\frac{π}{6}

B.

\frac{π}{3}

C.

\frac{2 π}{3}

D.

\frac{5 π}{6}

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9. 已知

{(3 x - \frac{1}{\sqrt{x}})}^{n} (n \in N^{*})

的展开式中所有项的系数和为 512 , 则展开式中的常数项为

A.

-756

B.

756

C.

-2268

D.

2268

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10. 函数

f (x)

的图象如下图所示, 则

f (x)

的解析式可能为

A.

\frac{5 (e^{x} - e^{- x})}{x^{2} + 2}

B.

\frac{5 \sin x}{x^{2} + 1}

C.

\frac{5 (e^{x} + e^{- x})}{x^{2} + 2}

D.

\frac{5 \cos x}{x^{2} + 1}

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11. 已知函数

f (x)

的一条对称轴为直线

x = 2

, 一个周期为 4 , 则

f (x)

的解析式可能为

A.

\sin (\frac{π}{2} x)

B.

\cos (\frac{π}{2} x)

C.

\sin (\frac{π}{4} x)

D.

\cos (\frac{π}{4} x)

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12. 调查某种群花萼长度和花瓣长度，所得数据如图所示，其中相关系数r=0.8245，下列说法正确的是

A.

花瓣长度和花萼长度没有相关性

B.

花瓣长度和花萼长度呈现负相关

C.

花瓣长度和花萼长度呈现正相关

D.

若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系数一定是0.8245

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13. 雅礼女篮一直是雅礼中学的一张靓丽的名片, 在刚刚结束的 2022 到 2023 赛季中国高中篮球联赛女子组总决赛中, 雅礼中学女篮队员们敢打敢拼, 最终获得了冠军. 在颁奖仪式上, 女篮队员 12 人 (其中 1 人为队长), 教练组 3 人, 站成一排照相, 要求队长必须站中间, 教练组-人要求相邻并站在边上, 总共有多少种站法

A.

A_{3}^{3} A_{11}^{11}

B.

2 A_{3}^{3} A_{11}^{11}

C.

A_{3}^{3} A_{4}^{4} A_{7}^{7}

D.

2 A_{3}^{3} A_{4}^{4} A_{7}^{7}

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14. 函数

f (x) = \log_{a} | x | + 1 (0 < a < 1)

的图象大致为

A.

B.

C.

D.

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15. 三名同学到五个社区参加社会实践活动, 要求每个社区有且只有一名同学, 每名同学至多去两个社区,则不同的派法共有

A.

90 种

B.

180 种

C.

125 种

D.

243 种

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16. 为了庆祝中国共产党第二十次全国代表大会, 学校采用按比例分配的分层随机抽样的方法从高一 1002 人, 高二 1002 人, 高三 1503 人中抽取 126 人观看 “中国共产党第二十次全国代表大会”直播, 那么高三年级被抽取的人数为

A.

B.

C.

D.

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17. 某学生进行投篮训练, 采取积分制, 有 7 次投篮机会, 投中一次得 1 分, 不中得 0 分, 若连续投中两次则额外加 1 分, 连续投中三次额外加 2 分, 以此类推, 连续投中七次额外加 6 分, 假设该学生每次投中的概率是

\frac{1}{2}

, 且每次投中之间相互独立, 则该学生在此次训练中恰好得 7 分的概率是

A.

\frac{9}{128}

B.

\frac{5}{64}

C.

\frac{11}{128}

D.

\frac{3}{32}

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18. 设

a = \frac{2}{21}, b = \sin \frac{2}{21}, c = \ln \frac{11}{10}

, 则

A.

a > b > c

B.

a > c > b

C.

c > a > b

D.

b > c > a

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19. 下列函数为奇函数且在

(0, 1)

上为减函数的是

A.

f (x) = \sin (- x)

B.

f (x) = \tan x

C.

f (x) = \cos x

D.

f (x) = \sin x

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20. 已知

f (x) = \sin (\frac{π}{3} x + \frac{π}{3}) - \sqrt{3} \cos (\frac{π}{3} x + \frac{π}{3})

, 则

f (1) + f (2) + \dots + f (2023)

的值为

A.

2 \sqrt{3}

B.

\sqrt{3}

C.

D.

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21. 已知

a = 1.4, b = 1.1 e^{0.4}, c = e^{0.5}

, 则

a, b, c

的大小关系是

A.

a < b < c

B.

a < c < b

C.

b < c < a

D.

c < b < a

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22. 下列区间中, 函数

f (x) = 3 \sin (\frac{π}{3} - 2 x)

单调递增的区间是

A.

(0, \frac{π}{4})

B.

(\frac{π}{4}, \frac{π}{2})

C.

(\frac{π}{2}, \frac{3 π}{4})

D.

(\frac{3 π}{4}, π)

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23. 若

\tan θ = - 2

, 且

θ \in (\frac{3 π}{2}, 2 π)

, 则

\sin θ + \cos θ =

A.

\frac{3 \sqrt{5}}{5}

B.

\frac{\sqrt{5}}{5}

C.

- \frac{\sqrt{5}}{5}

D.

- \frac{3 \sqrt{5}}{5}

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24. 甲、乙, 丙、丁等六名退休老党员相约去观看党史舞台剧《星火》. 《星火》的票价为 50 元 / 人, 每人限购一张票. 甲、乙、丙三人各带了一张 50 元钞, 其余三人各带了一张 100 元钞. 他们六人排成一列到售票处买票, 而售票处一开始没有准备 50 元零钱, 那么他们六人共有多少种不同排队顺序能使购票时售票处不出现找不出钱的状态.

A.

720

B.

360

C.

180

D.

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25. 从

1 、 2 、 3 、 4 、 5 、 6 、 7

这 7 个数中任取 5 个不同的数, 事件

A :

“取出的 5 个不同的数的中位数是 4 ”, 事件

B

: “取出的 5 个不同的数的平均数是 4 ”, 则

P (B ∣ A) =

A.

\frac{1}{7}

B.

\frac{9}{35}

C.

\frac{1}{3}

D.

\frac{3}{7}

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26. 已知函数

f (x) = \sin (ω x + \frac{π}{6}) (ω > 0)

在区间

(0, \frac{π}{2})

内有最大值, 但无最小值, 则

ω

的取值范围是

A.

(\frac{2}{3}, \frac{8}{3}]

B.

[\frac{1}{6}, \frac{5}{6})

C.

(\frac{2}{3}, \frac{5}{6}]

D.

[\frac{1}{6}, \frac{8}{3})

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27. 设

a = \ln 1.1, b = e^{0.1} - 1, c = \tan 0.1

, 则

A.

a < b < c

B.

c < a < b

C.

b < a < c

D.

a < c < b

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28. 在党中央的正确领导下, 我国坚定不移贯彻新发展理念, 着力推进高质量发展, 推动构建新发展格局, 实施供给侧结构性改革, 制定一系列具有全局性意义的区域重大战略, 经济实力实现历史性跃升. 国内生产总值 (GDP) 从五十四万亿元增长到一百一十四万亿元, 稳居世界第二位.下表是 2022 年我国大陆 31 省市区 GDP 数据.

则由各省市区 GDP 组成的这组数据的第 75 百分位数为 (单位: 亿元)

A.

16311.3

B.

17741.3

C.

48670.4

D.

53109.9

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29. 某地区有 20000 名考生参加了高三第二次调研考试. 经过数据分析, 数学成绩

X

近似服从正态分布

N (72, 8^{2})

, 则数学成绩位于

[80, 88]

的人数约为

参考数据:

P (μ - σ ⩽ X ⩽ μ + σ) \approx 0.6827, P (μ - 2 σ ⩽ X ⩽ μ + 2 σ) \approx 0.9545

P (μ - 3 σ ⩽ X ⩽ μ + 3 σ) \approx 0.9973

A.

455

B.

2718

C.

6346

D.

9545

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30. 有一组样本数据

1, 3, 2, a, 3, 5, 4, b

, 则

A.

这组样本数据的极差不小于 4

B.

这组样本数据的平均数不小于 4

C.

这组样本数据的中位数不小于 3

D.

这组样本数据的众数等于 3

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31. 设集合

A

和

B

都是自然数集合

N

，映射

f : A \to B

把集合

A

中的元素

n

映射到集合

B

中的元素

2^{n} + n

, 则在映射

f

下, 象 20 的原象是

A.

B.

C.

D.

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32. 已知

\sin α > \sin β

, 那么下列命题成立的是

A.

若

α 、 β

是第一象限角, 则

\cos α > \cos β

B.

若

α 、 β

是第二象限角, 则

tg α > tg β

C.

若

α

、

β

是第三象限角, 则

\cos α > \cos β

D.

若

α 、 β

是第四象限角, 则

tg α > tg β

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33. 函数

y = - x \cos x

的部分图象是

A.

B.

C.

D.

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34. 若

a > b > 1, P = \sqrt{\lg a \cdot \lg b}, Q = \frac{1}{2} (\lg a + \lg b), R = \lg (\frac{a + b}{2})

, 则

A.

R < P < Q

B.

P < Q < R

C.

Q < P < R

D.

P < R < Q

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35. 已知

a = 3^{\frac{1}{3}}, b = \log_{2} \frac{1}{3}, c = \log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{e}

, 则

A.

a > c > b

B.

c > a > b

C.

a > b > c

D.

c > b > a

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36. 设

a = {0.2}^{0.5}, b = {0.5}^{0.2}, c = \log_{0.5} 0.2

则

A.

a > c > b

B.

b > c > a

C.

c > a > b

D.

c > b > a

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37. 已知函数

f (x) = \frac{1}{x} - x

，若

a = \log_{5} 2, b = \log_{0.5} 0.2, c = {0.5}^{- 0.5}

，则

A.

f (b) < f (a) < f (c)

B.

f (c) < f (b) < f (a)

C.

f (b) < f (c) < f (a)

D.

f (a) < f (b) < f (c)

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38. 设

a = \log_{2} 3, b = \frac{3}{2}, c = \log_{0.2} 0.3

, 则

A.

b > a > c

B.

b > c > a

C.

a > b > c

D.

a > c > b

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39. 已知正数

a, b, c

满足

2022^{a} = 2023, 2023^{b} = 2022, c = \ln 2

, 下列说法正确的是

A.

\log_{a} c > \log_{b} c

B.

\log_{c} a > \log_{c} b

C.

a^{c} < b^{c}

D.

c^{a} < c^{b}

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40. 已知

5^{5} < 8^{4}, 13^{4} < 8^{5}

. 设

a = \log_{5} 3, b = \log_{8} 5, c = \log_{13} 8

, 则

A.

a < b < c

B.

b < a < c

C.

b < c < a

D.

c < a < b

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