题号:1698    题型:单选题    来源:河北省2021-2022学年高三上学期9月大联考数学试卷
类型:模拟考试
已知 $F_{1}, F_{2}$ 分别是椭圆 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)$ 的左、右焦点, 点 $P, Q$ 是 $C$ 上位于 $x$ 轴上方 的任意两点, 且 $P F_{1} / / Q F_{2}$. 若 $\left|P F_{1}\right|+\left|Q F_{2}\right| \geqslant b$, 则 $C$ 的离心率的取值范围是
$A.$ $\left(0, \frac{1}{2}\right]$ $B.$ $\left[\frac{1}{2}, 1\right)$ $C.$ $\left(0, \frac{\sqrt{3}}{2}\right]$ $D.$ $\left[\frac{\sqrt{3}}{2}, 1\right)$
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答案:
C

解析:

如图, 延长 $P F_{1}$ 交 $C$ 于 $M$,
根据椭圆的对称性可知 $\left|Q F_{2}\right|=\left|F_{1} M\right|$,
则 $\left|P F_{1}\right|+\left|Q F_{2}\right|=\left|P F_{1}\right|+\left|M F_{1}\right|=|P M|$,
因为焦点弦 $P M$ 长度的最小值为 $\frac{2 b^{2}}{a} \geqslant b$, 所以 $\frac{b}{a} \geqslant \frac{1}{2}$, 则 $0 < e=\sqrt{1-\left(\frac{b}{a}\right)^{2}} \leqslant \frac{\sqrt{3}}{2}$.

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