证明题 （共 36 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设多项式 $f(x)=(x+1)^{k+n}+2 x(x+1)^{k+n-1}+\cdots+(2 x)^k(x+1)^n$ ，其中 $k, n$ 都是正整数，证明：$x^{k+1} \mid\left[(x-1) f(x)+(x+1)^{k+n+1}\right]$ ．
（中国科学院大学 ${ }^{(1)}, 2007$ 年；河南师范大学，2017 年）设 $m, n, p$ 都是非负整数，证明：$\left(x^2+x+1\right) \mid\left(x^{3 m}+x^{3 n+1}+x^{3 p+2}\right)$
（重庆大学，2013 年）证明：$\left(x^m-1, x^n-1\right)=x^d-1$ 当且仅当 $(m, n)=d$ ．
（华东师范大学，1993 年）设 $m, n$ 是两个大于 1 的正整数，多项式
$$
\begin{aligned}
& f(x)=x^{m-1}+x^{m-2}+\cdots+x+1 \\
& g(x)=x^{n-1}+x^{n-2}+\cdots+x+1
\end{aligned}
$$
证明：$(f(x), g(x))=1$ 当且仅当 $(m, n)=1$ ．
（上海交通大学，2003 年）假设 $f_0\left(x^5\right)+x f_1\left(x^{10}\right)+x^2 f_2\left(x^{15}\right)+x^3 f_3\left(x^{20}\right)$ 能被 $x^4+x^3+x^2+x+1$ 整除。证明：$f_i(x)(i=0,1,2,3)$ 能被 $x-1$ 整除。
（复旦大学竞赛试题，2009 年；燕山大学，2013 年）设 $f(x)$ 是数域 $K$ 上的一个次数大于 0 的一元多项式。证明：$f(x)$ 是一个不可约多项式 $p(x)$ 的幂（即存在正整数 $m$ ，使得 $\left.f(x)=p^m(x)\right)$ 的充分必要条件是，对任意的多项式 $g(x)$ 和 $h(x)$ ，若 $f(x) \mid(g(x) h(x))$ ，则必有 $f(x) \mid g(x)$ 或 $f(x) \mid h^n(x)$ ，其中 $n$ 是某个正整数．
（天津大学，1998 年）设 $f(x)=x^3+(1+k) x^2+2 x+2 l$ 与 $g(x)=x^3+k x^2+l$ 的最大公因式是一个二次多项式，求 $k, l$ 的值．
（华南理工大学，2018 年）设 $f(x), g(x) \in P[x], d(x)=(f(x), g(x))$ ，且 $\operatorname{deg} \frac{f(x)}{d(x)} \geqslant 1, \operatorname{deg} \frac{g(x)}{d(x)} \geqslant 1$ ，则存在唯一的 $u(x), v(x) \in P[x]$ 使得 $u(x) f(x)+v(x) g(x)= d(x)$ ，其中 $\operatorname{deg} u(x) < \operatorname{deg} \frac{g(x)}{d(x)}, \operatorname{deg} v(x) < \operatorname{deg} \frac{f(x)}{d(x)}$ ．
（湖南省竞赛试题，2006 年）设
$$
f(x)=a_0+a_1 x+a_2 x^2+a_{10} x^{10}+a_{11} x^{11}+a_{12} x^{12}+a_{13} x^{13} \quad\left(a_{13} \neq 0\right)
$$
和
$$
g(x)=b_0+b_1 x+b_2 x^2+b_3 x^3+b_{11} x^{11}+b_{12} x^{12}+b_{13} x^{13} \quad\left(b_3 \neq 0\right)
$$
是两个复系数多项式．证明它们的最大公因式的次数最多为 6 ．
（华中师范大学，1994 年）设 $M$ 为 $F[x]$ 中一切形如 $u(x) f(x)+v(x) g(x)$ 的非零多项式所构成的集合，其中 $f(x), g(x)$ 是 $F[x]$ 中两个给定的非零多项式，$u(x), v(x)$是 $F[x]$ 中任意的多项式．证明：$M$ 非空，且 $M$ 中次数最低的多项式都是 $f(x), g(x)$ 的最大公因式．
（中国科学院大学，2007 年）设多项式 $f(x), g(x), h(x)$ 只有非零常数公因子，证明：存在多项式 $u(x), v(x), w(x)$ ，使得 $u(x) f(x)+v(x) g(x)+w(x) h(x)=1$ ．
（浙江大学，2006 年）设 $P$ 是一个数域，$f_i=f_i(x) \in P[x], g_i=g_i(x) \in P[x], i=1,2$ ．求证：$\left(f_1, g_1\right)\left(f_2, g_2\right)=\left(f_1 f_2, f_1 g_2, g_1 f_2, g_1 g_2\right)$ ．
设多项式 $d(x), f(x), g(x), h(x) \in K[x]$ 满足 $\left(\frac{g(x)}{(f(x), g(x))}, h(x)\right)=d(x)$ ，且 $p(x)=(f(x), d(x))$ 的次数不小于 1 ，试证明 $g(x)$ 有重因式．
求 $a$ 和 $b$ 的值，使得 $f(x)=x^3-5 x^2+7 x+a$ 和 $g(x)=x^3-8 x+b$ 有两个公共根．
（北京大学，2009 年）设多项式 $f(x)$ 的所有复根都是实数，且实数 $\boldsymbol{a}$是 $f^{\prime}(x)$ 的一个重根．证明 $a$ 也是 $f(x)$ 的根．
（南京理工大学，2006 年）设 $f(x) \in F[x]$ ．已知 $a \in F$ 是三阶导数 $f^{\prime \prime}(x)$ 的一个 $k$ 重根，其中 $k$ 为正整数．证明：$a$ 是 $g(x)=\frac{1}{2}(x-a)\left[f^{\prime}(x)+f^{\prime}(a)\right]-f(x)+f(a)$ 的一个 $k+3$ 重根．
设 $1, \omega_1, \omega_2, \cdots, \omega_{n-1}$ 是 $x^n-1$ 的所有不同的复数根．求证：
$$
\left(1-\omega_1\right)\left(1-\omega_2\right) \cdots\left(1-\omega_{n-1}\right)=n .
$$
（中国科学院大学，2012 年）证明：多项式 $f(x)=1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}$ 没有重根．
（北京大学，2002 年）对于任意非负整数 $n$ ，令 $f_n(x)=x^{n+2}-(x+1)^{2 n+1}$ ．证明：
$$
\left(x^2+x+1, f_n(x)\right)=1
$$
（四川大学，2001 年）设 $a_1, a_2, \cdots, a_n$ 是 $n$ 个互不相同的整数．证明：
$$
f(x)=\left(x-a_1\right)\left(x-a_2\right) \cdots\left(x-a_n\right)+1
$$
在有理数域上不可约或是某一有理系数多项式的平方．
（北京航空航天大学，2004 年）设 $f(x)=a_n x^n+a_{n-1} x^{n-1}+\cdots+a_1 x+a_0$ 是一个整系数多项式．证明：如果存在一个素数 $p$ ，使得
（1）$p$ 不能整除 $a_n$ ；
（2）$p \mid a_{n-1}, a_{n-2}, \cdots, a_0$ ；
（3）$p^2$ 不能整除 $a_0 \cdot$
那么多项式 $f(x)$ 在有理数域上是不可约的．
证明：多项式 $f(x)=(p-1) x^{p-2}+(p-2) x^{p-3}+\cdots+2 x+1$ 在有理数域上不可约，其中 $p$ 为大于 2 的素数．
华中师范大学，2002 年）设 $p$ 是素数，$a$ 是整数，$f(x)=a x^p+p x+1$ ，且 $p^2 \mid(a+1)$ ，证明：$f(x)$ 没有有理根．
（华东师范大学，2000 年）设 $f(x)$ 是整系数多项式，且 $f(1)=f(2)=f(3)= p(p$ 为素数 $)$ ，试证明：不存在整数 $m$ ，使 $f(m)=2 p$ ．
（浙江大学，2005年）设整系数多项式 $f(x)$ 的次数是 $n=2 m$ 或 $n=2 m+1$（其中 $m$ 为正整数）．证明：如果有 $k(\geqslant 2 m+1)$ 个不同的整数 $a_1, a_2, \cdots, a_k$ 使 $f\left(a_i\right)$ 取值为 1或 -1 ，那么 $f(x)$ 在有理数域上不可约。
证明：整系数多项式 $f(x)=x^n+a_1 x^{n-1}+\cdots+a_{n-1} x+a_n$ 有整数根的充分必要条件为存在 $2(n-1)$ 个整数 $b_i, c_i$ 满足下列条件：
（1）$a_i=b_i+c_i, 1 \leqslant i \leqslant n-1$ ；
（2）$\frac{1}{c_1}=\frac{b_1}{c_2}=\frac{b_2}{c_3}=\cdots=\frac{b_{n-2}}{c_{n-1}}=\frac{b_{n-1}}{a_n}$ ．
设 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 是三次方程 $x^3+a x^2+b x+c=0$ 在复数域上的 3 个根，求一个三次方程，使其 3 个根为 $\alpha_1^3, \alpha_2^3, \alpha_3^3$ ．
（复旦大学竞赛试题，2010 年）设 $n \geqslant 2$ 是自然数，$p \geqslant 3$ 是素数．证明：$x^n+x+p$是有理数域 $Q$ 上的不可约多项式．
设多项式 $f(x)=a_0 x^n+a_1 x^{n-1}+\cdots+a_{n-1} x+a_n\left(a_0 \neq 0\right)$ 的 $n$ 个根为 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$ ．证明 $f(x)$ 有重根的充分必要条件是
$$
Q=\left|\begin{array}{cccc}
s_0 & s_1 & \cdots & s_{n-1} \\
s_1 & s_2 & \cdots & s_n \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
s_{n-1} & s_n & \cdots & s_{2 n-2}
\end{array}\right|=0 .
$$
其中 $s_k=\alpha_1^k+\alpha_2^k+\cdots+\alpha_n^k(k=0,1,2, \cdots, 2 n-2)$ ．
计算多项式 $f(x)=x^9+x^7+x^3+x^2+x-1$ 的所有根的平方和、立方和及 9 次方的和．
（西北大学，2014 年）求满足 $f\left(x^2\right)=f(x) f(x+1)$ 的非常数多项式 $f(x)$ ．
（四川大学，2011 年）设数域 $F, S$ 满足 $F \subset S, f(x)$ 为 $F$ 上的 $n$ 次多项式，$f(x)$ 在 $S$ 上有 $n$ 个根 $x_i(1 \leqslant i \leqslant n)$ ，则 $\prod_{1 \leqslant i < j \leqslant n}\left(x_i-x_j\right)^2 \in F$ ．
（华东师范大学，2009 年）设 $f(x)=\left(x-a_1\right)\left(x-a_2\right)\left(x-a_3\right)\left(x-a_4\right)+1$ ，其中 $a_i$为整数 $(1 \leqslant i \leqslant 4)$ ，且 $a_1 < a_2 < a_3 < a_4$ ．证明：$f(x)$ 在有理数域上可约当且仅当 $a_4-a_1=3$ ．
（北京大学，2007 年）设 $n$ 阶复方阵 $\boldsymbol{A}$ 满足：对于任意正整数 $k$ ，都有 $\operatorname{tr}\left(\boldsymbol{A}^k\right)=0$ ．求 $\boldsymbol{A}$ 的特征值．
（中国剩余定理）设 $p_1(x), p_2(x), \cdots, p_n(x) \in K[x]$ 是 $n$ 个两两互素的多项式，$g_1(x), g_2(x), \cdots, g_n(x) \in K[x]$ 是任意 $n$ 个多项式，则存在 $f(x) \in K[x]$ 使得
$$
\begin{cases}f(x) \equiv g_1(x) & \left(\bmod p_1(x)\right) \\ f(x) \equiv g_2(x) & \left(\bmod p_2(x)\right) \\ \cdots \cdots \cdots \cdots & \\ f(x) \equiv g_n(x) & \left(\bmod p_n(x)\right)\end{cases}
$$
（北京大学，2007 年）把实数域 $\mathbb{R}$ 看成有理数域 $\mathbb{Q}$ 上的线性空间，$b=p^3 q^2 r$ ，这里的 $p, q, r \in \mathbb{Q}$ 是互不相同的素数．判断向量组 $1, \sqrt[n]{b}, \sqrt[n]{b^2}, \cdots, \sqrt[n]{b^{n-1}}$ 是否线性相关？说明理由．