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（南京理工大学，2006 年）设 $f(x) \in F[x]$ ．已知 $a \in F$ 是三阶导数 $f^{\prime \prime}(x)$ 的一个 $k$ 重根，其中 $k$ 为正整数．证明：$a$ 是 $g(x)=\frac{1}{2}(x-a)\left[f^{\prime}(x)+f^{\prime}(a)\right]-f(x)+f(a)$ 的一个 $k+3$ 重根．
                        
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