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考4

数学

本试卷总分150分,考试时间120分钟。

注意事项:

答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在本试卷上无效。

考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。

学校：_______________ 姓名：_____________ 班级：_______________ 学号：_______________

一、单选题（共 1 题），每题只有一个选项正确

1. 设曲线积分

\int_{L} [f (x) - e^{x}] \sin y d x - f (x) \cos y d y

与路径无关, 其中

f (x)

具有一阶连续导数, 且

f (0) = 0

, 则

f (x)

等于

A.

\frac{e^{- x} - e^{x}}{2}

B.

\frac{e^{x} - e^{- x}}{2}

C.

\frac{e^{x} + e^{- x}}{2} - 1

D.

1 - \frac{e^{x} + e^{- x}}{2}

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二、填空题（共 7 题），请把答案直接填写在答题纸上

2. 由曲线

y = \ln x

与两直线

y = (e + 1) - x

及

y = 0

所围成的平面图形的面积是

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3. 设

L

为取正向的圆周

x^{2} + y^{2} = 9

, 则曲线积分

\oint_{L} (2 x y - 2 y) d x + (x^{2} - 4 x) d y

的值是

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4. 设

Ω

是由锥面

z = \sqrt{x^{2} + y^{2}}

与半球面

z = \sqrt{R^{2} - x^{2} - y^{2}}

围成的空间区域，

Σ

是

Ω

的整个边界的外侧，则

\iint_{Σ} x d y d z + y d z d x + z d x d y =

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5. 设

Σ

是锥面

z = \sqrt{x^{2} + y^{2}} (0 \leq z \leq 1)

的下侧，则

\iint_{Σ} x d y d z + 2 y d z d x + 3 (z - 1) d x d y =

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6. 设曲面

Σ : | x | + | y | + | z | = 1

，则

\oint_{Σ} (x + | y |) d S =

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7. 设位于曲线

y = \frac{1}{\sqrt{x (1 + \ln^{2} x)}} (e \leq x < + \infty)

下
方，

x

轴上方的无界区域为

G

，则

G

绕

x

轴旋转一周所得空间区域的体积是

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8. 设

L

是柱面方程

x^{2} + y^{2} = 1

与平面

z = x + y

的交线，从

z

轴正向往

z

轴负向看去为逆时针方向，则曲线积分

\oint_{L} x z d x + x d y + \frac{y^{2}}{2} d z =

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三、解答题（共 32 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

9. 计算曲面积分

I = \iint_{Σ} x (8 y + 1) d y d z + 2 (1 - y^{2}) d z d x - 4 y z d x d y,

其中

Σ

是由曲线

{\begin{cases} z = \sqrt{y - 1}, \\ x = 0, \end{cases} (1 ⩽ y ⩽ 3)

绕

y

轴旋转一周所成的曲面, 它的法向量与

y

轴正向的夹角恒大于

\frac{π}{2}

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10. 设

Σ

为曲面

x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1

的外侧, 计算曲面积分

I = \iint_{Σ} x^{3} d y d z + y^{3} d z d x + z^{3} d x d y .

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11. 设函数

f (x)

在区间

[a, b]

上连续, 且在

(a, b)

内有

f^{'} (x) > 0

.
证明: 在

(a, b)

内存在唯一的

ξ

, 使曲线

y = f (x)

与两直线

y = f (ξ), x = a

所围平面图形面积

S_{1}

是曲线

y = f (x)

与两直线

y = f (ξ)

x = b

所围平面图形面积

S_{2}

的 3 倍.

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12. 计算曲面积分

\iint_{Σ} (x^{3} + a z^{2}) d y d z + (y^{3} + a x^{2}) d z d x + (z^{3} + a y^{2}) d x d y

, 其中

Σ

为上半球面

z =

\sqrt{a^{2} - x^{2} - y^{2}}

的上侧.

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13. 计算曲面积分

\iint_{S} \frac{x d y d z + z^{2} d x d y}{x^{2} + y^{2} + z^{2}}

, 其中

S

是由曲面

x^{2} + y^{2} = R^{2}

及两平面

z = R, z = - R (R > 0)

所围成立体表面的外侧.

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14. 计算曲面积分

\iint_{S} (2 x + z) d y d z + z d x d y

, 其中

S

为有向曲面

z = x^{2} + y^{2} (0 ⩽ z ⩽ 1)

, 其法向量与

z

轴正向的夹角为锐角.

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15. 已知一抛物线通过

x

轴上的两点

A (1, 0), B (3, 0)

.
(1) 求证: 两坐标轴与该抛物线所围图形的面积等于

x

轴与该抛物线所围图形的面积；
(2) 计算上述两个平面图形绕

x

轴旋转一周所产生的两个旋转体体积之比.

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16. 计算

I = ∭_{Ω} (x^{2} + y^{2}) d V

，其中

Ω

为平面曲线

{\begin{cases} y^{2} = 2 z \\ x = 0 \end{cases}

绕

z

轴旋转一周形成曲面与

z = 8

所围成的区域.

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17. 设

f (x)

在闭区间

[0, 1]

上连续，在开区间

(0, 1)

内大于零，并满足

x f^{'} (x) = f (x) + \frac{3 a}{2} x^{2}

(

a

为常数). 又曲线

y = f (x)

与

x = 1, y = 0

所围成的图形

S

的面积值为 2 ，求函数

y = f (x)

，并问

a

为何值时，图形

S

绕

x

轴旋转一周所得的旋转体的体积最小.

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18. 求曲线

y = x^{2} - 2 x, y = 0, x = 1, x = 3

所围成的平面图形的面积

S

，并求该平面图形绕

y

轴旋转一周所得旋转体的体积

V

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19. 计算

\iint_{Σ} \frac{a x d y d z + (z + a)^{2} d x d y}{{(x^{2} + y^{2} + z^{2})}^{1 / 2}}

，其中

Σ

为下半球面

z = - \sqrt{a^{2} - x^{2} - y^{2}}

的上侧，

a

为大于零的常数.

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20. 设有曲线

y = \sqrt{x - 1}

，过原点作其切线，求由此曲线、切线及

x

轴围成的平面图形绕

x

轴旋转一周所得到的旋转体的表面积.

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21. 设直线

y = a x

与拋物线

y = x^{2}

所围成图形的面积为

S_{1}

，它们与直线

x = 1

所围成的图形面积为

S_{2}

，且

a < 1

.
(1) 试确定

a

的值，使

S_{1} + S_{2}

达到最小，并求出最小值；
(2) 求该最小值所对应的平面图形绕

x

轴旋转一周所得旋转体的体积.

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22. 设对于半空间

x > 0

内任意的光滑有向封闭曲面

S

，都有

\oint_{S} x f (x) d y d z - x y f (x) d z d x - e^{2 x} z d x d y = 0

其中函数

f (x)

在

(0, + \infty)

内具有连续的一阶导数，且

lim_{x \to 0^{+}} f (x) = 1

，求

f (x)

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23. 设有一半径为

R

的球体，

P_{0}

是此球的表面上的一个定点，球体上任一点的密度与该点到

P_{0}

距离的平方成正比 (比例常数

k > 0

)，求球体的重心位置.

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24. 设曲线

y = a x^{2} (a > 0, x \geq 0)

与

y = 1 - x^{2}

交于点

A

，过坐标原点

O

和点

A

的直线与曲线

y = a x^{2}

围成一平面图形，问

a

为何值时，该图形绕

x

轴旋转一周所得的旋转体的体积最大?

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25. 计算曲线积分

I = \oint_{L} (y^{2} - z^{2}) d x + (2 z^{2} - x^{2}) d y + (3 x^{2} - y^{2}) d z

其中

L

是平面

x + y + z = 2

与柱面

| x | + | y | = 1

的交线，从

Z

轴正向看去，

L

为逆时针方向.

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26. 设有一高度为

h (t)

(

t

为时间)的雪堆在融化过程，其侧面满足方程

z = h (t) - \frac{2 (x^{2} + y^{2})}{h (t)}

. 设长度单位为厘米，时间单位为小时. 已知体积减少的速率与侧面积成正比(比例系数为 0.9 )，问高度为 130 (厘米)的雪堆全部融化需多少小时?

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27. 求微分方程

x d y + (x - 2 y) d x = 0

的一个解

y = y (x)

，使得由曲线

y = y (x)

与直线

x = 1, x = 2

以及

x

轴所围成的平面图形绕

x

轴旋转一周的旋转体体积最小.

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28. 设

D_{1}

是由抛物线

y = 2 x^{2}

和直线

x = a \cdot x = 2

及

y = 0

所围成的平面区域；

D_{2}

是由抛物线

y = 2 x^{2}

和直线

y = 0, x = a

所围成的平面区域，其中

0 < a < 2

.
(1) 试求

D_{1}

绕

x

轴旋转而成的旋转体体积

V_{1}; D_{2}

绕

y

轴旋转而成的旋转体体积

V_{2}

;
(2) 问当

a

为何值时，

V_{1} + V_{2}

取得最大值? 试求此最大值.

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29. 已知平面区域

D = {(x, y) ∣ 0 \leq x \leq π, 0 \leq y \leq π}

，

L

为

D

的正向边界. 试证:
(1)

\oint_{L} x e^{\sin y} d y - y e^{- \sin x} d x = \oint_{L} x e^{- \sin y} d y - y e^{\sin x} d x

(2)

\oint_{L} x e^{\sin y} d y - y e^{- \sin x} d x \geq 2 π^{2}

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30. 设曲线的极坐标方程为

ρ = e^{a θ} (a > 0)

，则该曲线上相应于

θ

从 0 变到

2 π

的一段弧与极轴所围成的图形的面积为

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31. 曲线

y = \frac{e^{x} + e^{- x}}{2}

与直线

x = 0, x = t (t > 0)

及

y = 0

围成一曲边梯形. 该曲边梯形绕

x

轴旋转一周得一旋转体，其体积为

V (t)

，侧面积为

S (t)

，在

x = t

处的底面积为

F (t)

.
(1) 求

\frac{S (t)}{V (t)}

的值；
(2) 计算极限

lim_{t \to + \infty} \frac{S (t)}{F (t)}

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32. 求

\iint_{D} (\sqrt{x^{2} + y^{2}} + y) d σ

, 其中

D

是由圆

x^{2} + y^{2} = 4

和

(x + 1)^{2} + y^{2} = 1

所围成的平面区域.

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33. 设函数

φ (y)

具有连续导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线

L

上，曲线积分

\oint_{L} \frac{φ (y) d x + 2 x y d y}{2 x^{2} + y^{4}}

的值恒为同一常数.
(1) 证明: 对右半平面

x > 0

内的任意分段光滑简单闭曲线

C

，有

\oint_{C} \frac{φ (y) d x + 2 x y d y}{2 x^{2} + y^{4}} = 0

；
（2）求函数

φ (y)

的表达式.

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34. 设在上半平面

D = {(x, y) ∣ y > 0}

内，数

f (x, y)

是有连续偏导数，且对任意的

t > 0

都有

f (t x, t y) = t^{- 2} f (x, y)

.
证明：对

D

内的任意分段光滑的有向简单闭曲线

L

，都有

\oint_{L} y f (x, y) d x - x f (x, y) d y = 0

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35. 设

D

是位于曲线

y = \sqrt{x} a^{- \frac{x}{2 a}} (a > 1, 0 \leq x < + \infty)

下方、

x

轴上方的无界区域.
(1) 求区域

D

绕

x

轴旋转一周所成旋转体的体积

V (a)

；
(2) 当

a

为何值时，

V (a)

最小?并求此最小值.

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36. 设

f (x)

是区间

[0, + \infty)

上具有连续导数的单调增加函数，且

f (0) = 1

. 对任意的

t \in [0, + \infty)

，直线

x = 0, x = t

，曲线

y = f (x)

以及

x

轴所围成的曲边梯形绕

x

轴旋转一周生成一旋转体，若该旋转体的侧面面积在数值上等于其体积的 2 倍，求函数

f (x)

的表达式.

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37. 椭球面

S_{1}

是椭圆

\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1

绕

x

轴旋转而成，圆锥面

S_{2}

是由过点

(4, 0)

且与椭圆

\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1

相切的直线绕

x

轴旋转而成.
(1) 求

S_{1}

及

S_{2}

的方程;
(2) 求

S_{1}

与

S_{2}

之间的立体体积.

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38. 计算曲面积分

I = \oint_{Σ} \frac{x d y d z + y d z d x + z d x d y}{{(x^{2} + y^{2} + z^{2})}^{\frac{3}{2}}}

，其中

Σ

是曲面

2 x^{2} + 2 y^{2} + z^{2} = 4

的外侧.

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39. 设曲线

y = f (x)

，其中

f (x)

是可导函数，且

f (x) > 0

.已知曲线

y = f (x)

与直线

y = 0, x = 1

及

x = t (t > 1)

所围成的曲边梯形绕

x

轴旋转一周所得的立体体积值是该曲边梯形面积值的

π t

倍，求该曲线的方程.

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40. 设

P

为椭球面

S : x^{2} + y^{2} + z^{2} - y z = 1

上的动点，若

S

在点

P

处的切平面与

x O y

面垂直，求点

P

的轨迹

C

. 并计算曲面积分

I = \iint_{Σ} \frac{(x + \sqrt{3}) | y - 2 z |}{\sqrt{4 + y^{2} + z^{2} - 4 y z}} d S

，其中

Σ

是椭球面

S

位于曲线

C

上方的部分.

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