一、单选题 （共 5 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
设在区间 $[a, b]$ 上 $f(x)>0, f^{\prime}(x) < 0, f^{\prime \prime}(x)>0$ ，令
$$
\begin{aligned}
S_1 & =\int_a^b f(x) \mathrm{d} x, S_2=f(b)(b-a) \\
S_3 & =\frac{1}{2}[f(a)+f(b)](b-a)
\end{aligned}
$$
则
$\text{A.}$ $S_1 < S_2 < S_3$
$\text{B.}$ $S_2 < S_1 < S_3$
$\text{C.}$ $S_3 < S_1 < S_2$
$\text{D.}$ $S_2 < S_3 < S_1$
设在区间 $[a, b]$ 上 $f(x)>0, f^{\prime}(x) < 0, f^{\prime \prime}(x)>0$ ，令
$$
\begin{aligned}
& S_1=\int_a^b f(x) \mathrm{d} x, S_2=f(b)(b-a), \\
& S_3=\frac{1}{2}[f(a)+f(b)](b-a)
\end{aligned}
$$
则
$\text{A.}$ $S_1 < S_2 < S_3$
$\text{B.}$ $S_2 < S_1 < S_3$
$\text{C.}$ $S_3 < S_1 < S_2$
$\text{D.}$ $S_2 < S_3 < S_1$
设 $f(x, y)$ 连续，且 $f(x, y)=x y+\iint_D f(u, v) \mathrm{d} u \mathrm{~d} v$ ，其中 $D$ 是由 $y=0$, $y=x^2, x=1$ 所围成的区域，则 $f(x, y)$ 等于
$\text{A.}$ $x y$
$\text{B.}$ $2 x y$
$\text{C.}$ $x y+\frac{1}{8}$
$\text{D.}$ $x y+1$
设 $S: x^2+y^2+z^2=a^2(z \geq 0), S_1$ 为 $S$ 在第一卦限中的部分，则有
$\text{A.}$ $\iint_S x \mathrm{~d} S=4 \iint_{S_1} x \mathrm{~d} S$
$\text{B.}$ $\iint_S y \mathrm{~d} S=4 \iint_{S_1} y \mathrm{~d} S$
$\text{C.}$ $\iint_S z \mathrm{~d} S=4 \iint_{S_1} z \mathrm{~d} S$
$\text{D.}$ $\iint_S x y z \mathrm{~d} S=4 \iint_{S_1} x y z \mathrm{~d} S$
设函数 $f(u)$ 连续，区域 $D=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leq 2 y\right\}$, 则 $\iint_D f(x y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 等于
$\text{A.}$ $\int_{-1}^1 \mathrm{~d} x \int_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}} f(x y) \mathrm{d} y$
$\text{B.}$ $2 \int_0^2 \mathrm{~d} y \int_0^{\sqrt{2 y-y^2}} f(x y) \mathrm{d} x$
$\text{C.}$ $\int_0^\pi \mathrm{d} \theta \int_0^{2 \sin \theta} f\left(r^2 \sin \theta \cos \theta\right) \mathrm{d} r$
$\text{D.}$ $\int_0^\pi \mathrm{d} \theta \int_0^{2 \sin \theta} f\left(r^2 \sin \theta \cos \theta\right) r \mathrm{~d} r$
二、填空题 （共 11 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
由曲线 $y=x e^x$ 与直线 $y=e x$ 所围成的图形的面积 $S=$
由曲线 $y=x+\frac{1}{x}, x=2$ 及 $y=2$ 所围图形的面积 $S=$
设 $L$ 为椭圆 $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$ ，其周长记为 $a$ ，则 $\oint_L\left(2 x y+3 x^2+4 y^2\right) \mathrm{d} s=$
曲线 $y=-x^3+x^2+2 x$ 与 $x$ 轴所围成的图形的面积 $A=$
设 $\rho=\rho(x)$ 是抛物线 $y=\sqrt{x}$ 上任一点 $M(x, y)(x \geq 1)$处的曲率半径， $s=s(x)$ 是该抛物线上介于点 $A(1,1)$ 与 $M$ 之间的弧长，计算 $3 \rho \frac{\mathrm{d}^2 \rho}{\mathrm{d} s^2}-\left(\frac{\mathrm{d} \rho}{\mathrm{d} s}\right)^2$ 的值. (在直角坐标系下曲率公式为 $K=\frac{\left|y^{\prime \prime}\right|}{\left(1+y^{\prime 2}\right)^{\frac{3}{2}}}$.
设 $L$ 是一条平面曲线，其上任意一点 $P(x, y)(x>0)$ 到坐标原点的距离恒等于该点处的切线在 $y$ 轴上的截距，且 $L$ 经过点 $\left(\frac{1}{2}, 0\right)$.
(1) 试求曲线 $L$ 的方程;
(2) 求 $L$ 位于第一象限部分的一条切线，使该切线与 $L$ 以及两坐标轴所围图形面积最小.
设 $L$ 为正向圆周 $x^2+y^2=2$ 在第一象限中的部分，则曲线积分 $\int_L x \mathrm{~d} y-2 y \mathrm{~d} x$ 的值为
设曲面 $\Sigma$ 是 $z=\sqrt{4-x^2-y^2}$ 的上侧，则
$$
\iint_{\Sigma} x y \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+x \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+x^2 \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=
$$
已知曲线 $L: y=x^2(0 \leq x \leq \sqrt{2})$ ，则 $\int_L x \mathrm{~d} s=$
当 $0 \leq \theta \leq \pi$ 时，对数螺线 $r=e^\theta$ 的弧长为
曲线 $y=\int_0^x \tan t \mathrm{~d} t\left(0 \leq x \leq \frac{\pi}{4}\right)$ 的弧长 $s=$
三、解答题 （ 共 24 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
计算曲线 $y=\ln \left(1-x^2\right)$ 上相应于 $0 \leq x \leq \frac{1}{2}$ 的一段弧的长度.
求曲线 $y=\sqrt{x}$ 的一条切线 $l$ ，使该曲线与切线 $l$ 及直线 $x=0, x=2$ 所围成的平面图形面积最小.
设:
(1) 函数 $y=f(x)(0 \leq x < \infty)$ 满足条件 $f(0)=0$和 $0 \leq f(x) \leq e^x-1$ ；
(2) 平行于 $y$ 轴的动直线 $M N$ 与曲线 $y=f(x)$ 和 $y=e^x-1$ 分别交于点 $P_1$ 和 $P_2$ ；
(3) 曲线 $y=f(x)$ 、直线 $M N$ 与 $x$ 轴所围封闭图形的面积 $S$ 恒等于线段 $P_1 P_2$ 的长度. 求函数 $y=f(x)$ 的表达式.
如图，设曲线方程为 $y=x^2+\frac{1}{2}$ ，梯形 $O A B C$ 的面积为 $D$ ，曲边梯形 $O A B C$ 的面积为 $D_1$ ，点 $A$ 的坐标为 $(a, 0), a>0$ ，证明: $\frac{D}{D_1} < \frac{3}{2}$.
计算曲线积分 $\oint_C(z-y) \mathrm{d} x+(x-z) \mathrm{d} y+(x-y) \mathrm{d} z$ ，其中 $C$ 是曲线 $\left\{\begin{array}{c}x^2+y^2=1 \\ x-y+z=2\end{array}\right.$ ，
从 $z$ 轴正向往 $z$ 轴负向看， $C$ 的方向是顺时针的.
设曲线 $L$ 的极坐标方程为 $r=r(\theta), M(r, \theta)$ 为 $L$ 上任一点， $M_0(2,0)$ 为 $L$ 上一定点，若极径 $O M_0, O M$ 与曲线 $L$ 所围成的曲边扇形面积值等于 $L$ 上 $M_0, M$ 两点间弧长值的一半，求曲线 $L$ 的直角坐标方程.
设 $D$ 是以点 $O(0,0), A(1,2)$ 和 $B(2,1)$ 为顶点的三角形区域，求 $\iint_D x \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$.
求 $I=\int_L\left(e^x \sin y-b(x+y)\right) \mathrm{d} x+\left(e^x \cos y-a x\right) \mathrm{d} y$ ，其中 $a, b$ 为正的常数， $L$ 为从点 $A(2 a, 0)$ 沿曲线 $y=\sqrt{2 a x-x^2}$ 到点 $O(0,0)$ 的弧.
设函数 $y(x)(x \geq 0)$ 二阶可导且 $y^{\prime}(x)>0, y(0)=1$. 过曲线 $y=f(x)$ 上任意一点 $P(x, y)$ 作该曲线的切线及 $x$ 轴的垂线，上述两直线与 $x$ 轴所围成的三角形的面积记为 $S_1$ ，区间 $[0, x]$ 上以 $y=y(x)$ 为曲边的曲边梯形面积记为 $S_2$ ，并设 $2 S_1-S_2$ 恒为 1 ，求此曲线 $y=y(x)$ 的方程.
计算曲线积分 $I=\oint_L \frac{x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x}{4 x^2+y^2}$ ，其中 $L$ 是以点 $(1,0)$ 为中心， $R(R>1)$ 为半径的圆周，取逆时针方向.
设 $x O y$ 平面上有正方形 $D=\{(x, y) \mid 0 \leq x \leq 1,0 \leq y \leq 1\}$ 及直线 $l: x+y=t(t \geq 0)$ ，若 $S(t)$ 表示正方形 $D$ 位于直线
已知抛物线 $y=p x^2+q x$ (其中 $p < 0, q>0$ ) 在第一象限内与直线 $x+y=5$ 相切，且此抛物线与 $x$ 轴所围成的平面图形的面积为 $S$.
(1) 问 $p$ 和 $q$ 为何值时， $S$ 达到最大?
(2) 求出此最大值.
设函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内具有一阶连续导数， $L$ 是上半平面 $(y>0)$ 内的有向分段光滑曲线，其起点为 $(a, b)$ ，终点为 $(c, d)$ ，记
$$
I=\int_L \frac{1}{y}\left[1+y^2 f(x y)\right] \mathrm{d} x+\frac{x}{y^2}\left[y^2 f(x y)-1\right] \mathrm{d} y .
$$
（1）证明曲线积分 $I$ 与路径 $L$ 无关；
（2）当 $a b=c d$ 时，求 $I$ 的值.
过坐标原点作曲线 $y=\ln x$ 的切线，该切线与曲线 $y=\ln x$ 及 $x$ 轴围成平面图形 $D$.
(1) 求 $D$ 的面积 $A$.
(2) 求 $D$ 绕直线 $x=e$ 旋转一周所得旋转体的体积 $V$.
设位于第一象限的曲线 $y=f(x)$ 过点 $\left(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{2}\right)$ ，其上任一点 $P(x, y)$ 处的法线与 $y$ 轴的交点为 $Q$ ，且线段 $P Q$ 被 $x$轴平分.
(1) 求曲线 $y=f(x)$ 的方程;
（2）已知曲线 $y=\sin x$ 在 $[0, \pi]$ 上的弧长为 $l$ ，试用 $l$ 表示曲线 $y=f(x)$ 的弧长 $s$.
计算曲面积分
$$
I=\iint_{\Sigma} 2 x^3 \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+2 y^3 \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+3\left(z^2-1\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y,
$$
其中 $\sum$ 是曲面 $z=1-x^2-y^2(z \geq 0)$ 的上侧.
设 $F(x)=\left\{\begin{array}{l}e^{2 x}, x \leq 0 \\ e^{-2 x}, x>0\end{array}\right.$ ，S 表示夹在 $x$ 轴与曲线 $y=F(x)$ 之间的面积. 对任何 $t>0, S_1(t)$ 表示矩形 $-t \leq x \leq t, 0 \leq y \leq F(t)$ 的面积. 求
(1) $S(t)=S-S_1(t)$ 的表达式；
(2) $S(t)$ 的最小值.
如下图，曲线 $C$ 的方程为 $y=f(x)$ ，点 $(3,2)$ 是它的一个拐点，直线 $l_1$ 与 $l_2$ 分别是曲线 C 在点 $(0,0)$ 与 $(3,2)$ 处的切线，其交点为 $(2,4)$. 设函数 $f(x)$ 具有三阶连续导数，计算定积分 $\int_0^3\left(x^2+x\right) f^{\prime \prime \prime}(x) \mathrm{d} x$.
计算二重积分 $\iint_D\left|x^2+y^2-1\right| \mathrm{d} \sigma$ ，其中
$$
D=\{(x, y) \mid 0 \leq x \leq 1,0 \leq y \leq 1\} .
$$
计算曲面积分
$$
I=\iint_{\Sigma} x z \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+2 z y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+3 x y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y,
$$
其中 $\Sigma$ 为曲面 $z=1-x^2-\frac{y^2}{4}(0 \leq z \leq 1)$ 的上侧.
设二元函数
$$
f(x, y)= \begin{cases}x^2, & |x|+|y| \leq 1 \\ \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}, & 1 < |x|+|y| \leq 2\end{cases}
$$
计算二重积分 $\iint_D f(x, y) \mathrm{d} \sigma$ ，其中
$$
D=\{(x, y) \| x|+| y \mid \leq 2\}
$$
计算曲线积分 $\int_L \sin 2 x \mathrm{~d} x+2\left(x^2-1\right) y \mathrm{~d} y$ ，其中 $L$是曲线 $y=\sin x$ 上从点 $(0,0)$ 到点 $(\pi, 0)$ 的一段.
计算 $\iint_D \max \{x y, 1\} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D=\{(x, y) \mid 0 \leq x \leq 2,0 \leq y \leq 2\}$
设 $a_n$ 为曲线 $y=x^n$ 与 $y=x^{n+1}(n=1,2, \cdots)$ 所围区域的面积，记 $S_1=\sum_{n=1}^{\infty} a_n ， S_2=\sum_{n=1}^{\infty} a_{2 n-1}$ ，求 $S_1$ 与 $S_2$ 的值