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考2

数学

本试卷总分150分,考试时间120分钟。

注意事项:

答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在本试卷上无效。

考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。

学校：_______________ 姓名：_____________ 班级：_______________ 学号：_______________

一、单选题（共 5 题），每题只有一个选项正确

1. 设在区间

[a, b]

上

f (x) > 0, f^{'} (x) < 0, f^{''} (x) > 0

，令

\begin{aligned} S_{1} & = \int_{a}^{b} f (x) d x, S_{2} = f (b) (b - a) \\ S_{3} & = \frac{1}{2} [f (a) + f (b)] (b - a) \end{aligned}

则

A.

S_{1} < S_{2} < S_{3}

B.

S_{2} < S_{1} < S_{3}

C.

S_{3} < S_{1} < S_{2}

D.

S_{2} < S_{3} < S_{1}

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2. 设在区间

[a, b]

上

f (x) > 0, f^{'} (x) < 0, f^{''} (x) > 0

，令

\begin{aligned} S_{1} = \int_{a}^{b} f (x) d x, S_{2} = f (b) (b - a), \\ S_{3} = \frac{1}{2} [f (a) + f (b)] (b - a) \end{aligned}

则

A.

S_{1} < S_{2} < S_{3}

B.

S_{2} < S_{1} < S_{3}

C.

S_{3} < S_{1} < S_{2}

D.

S_{2} < S_{3} < S_{1}

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3. 设

f (x, y)

连续，且

f (x, y) = x y + \iint_{D} f (u, v) d u d v

，其中

D

是由

y = 0

y = x^{2}, x = 1

所围成的区域，则

f (x, y)

等于

A.

x y

B.

2 x y

C.

x y + \frac{1}{8}

D.

x y + 1

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4. 设

S : x^{2} + y^{2} + z^{2} = a^{2} (z \geq 0), S_{1}

为

S

在第一卦限中的部分，则有

A.

\iint_{S} x d S = 4 \iint_{S_{1}} x d S

B.

\iint_{S} y d S = 4 \iint_{S_{1}} y d S

C.

\iint_{S} z d S = 4 \iint_{S_{1}} z d S

D.

\iint_{S} x y z d S = 4 \iint_{S_{1}} x y z d S

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5. 设函数

f (u)

连续，区域

D = {(x, y) ∣ x^{2} + y^{2} \leq 2 y}

, 则

\iint_{D} f (x y) d x d y

等于

A.

\int_{- 1}^{1} d x \int_{- \sqrt{1 - x^{2}}}^{\sqrt{1 - x^{2}}} f (x y) d y

B.

2 \int_{0}^{2} d y \int_{0}^{\sqrt{2 y - y^{2}}} f (x y) d x

C.

\int_{0}^{π} d θ \int_{0}^{2 \sin θ} f (r^{2} \sin θ \cos θ) d r

D.

\int_{0}^{π} d θ \int_{0}^{2 \sin θ} f (r^{2} \sin θ \cos θ) r d r

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二、填空题（共 11 题），请把答案直接填写在答题纸上

6. 由曲线

y = x e^{x}

与直线

y = e x

所围成的图形的面积

S =

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7. 由曲线

y = x + \frac{1}{x}, x = 2

及

y = 2

所围图形的面积

S =

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8. 设

L

为椭圆

\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1

，其周长记为

a

，则

\oint_{L} (2 x y + 3 x^{2} + 4 y^{2}) d s =

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9. 曲线

y = - x^{3} + x^{2} + 2 x

与

x

轴所围成的图形的面积

A =

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10. 设

ρ = ρ (x)

是抛物线

y = \sqrt{x}

上任一点

M (x, y) (x \geq 1)

处的曲率半径，

s = s (x)

是该抛物线上介于点

A (1, 1)

与

M

之间的弧长，计算

3 ρ \frac{d^{2} ρ}{d s^{2}} - {(\frac{d ρ}{d s})}^{2}

的值. (在直角坐标系下曲率公式为

K = \frac{| y^{''} |}{{(1 + y^{' 2})}^{\frac{3}{2}}}

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11. 设

L

是一条平面曲线，其上任意一点

P (x, y) (x > 0)

到坐标原点的距离恒等于该点处的切线在

y

轴上的截距，且

L

经过点

(\frac{1}{2}, 0)

.
(1) 试求曲线

L

的方程;
(2) 求

L

位于第一象限部分的一条切线，使该切线与

L

以及两坐标轴所围图形面积最小.

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12. 设

L

为正向圆周

x^{2} + y^{2} = 2

在第一象限中的部分，则曲线积分

\int_{L} x d y - 2 y d x

的值为

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13. 设曲面

Σ

是

z = \sqrt{4 - x^{2} - y^{2}}

的上侧，则

\iint_{Σ} x y d y d z + x d z d x + x^{2} d x d y =

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14. 已知曲线

L : y = x^{2} (0 \leq x \leq \sqrt{2})

，则

\int_{L} x d s =

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15. 当

0 \leq θ \leq π

时，对数螺线

r = e^{θ}

的弧长为

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16. 曲线

y = \int_{0}^{x} \tan t d t (0 \leq x \leq \frac{π}{4})

的弧长

s =

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三、解答题（共 24 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

17. 计算曲线

y = \ln (1 - x^{2})

上相应于

0 \leq x \leq \frac{1}{2}

的一段弧的长度.

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18. 求曲线

y = \sqrt{x}

的一条切线

l

，使该曲线与切线

l

及直线

x = 0, x = 2

所围成的平面图形面积最小.

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19. 设:
(1) 函数

y = f (x) (0 \leq x < \infty)

满足条件

f (0) = 0

和

0 \leq f (x) \leq e^{x} - 1

；
(2) 平行于

y

轴的动直线

M N

与曲线

y = f (x)

和

y = e^{x} - 1

分别交于点

P_{1}

和

P_{2}

；
(3) 曲线

y = f (x)

、直线

M N

与

x

轴所围封闭图形的面积

S

恒等于线段

P_{1} P_{2}

的长度. 求函数

y = f (x)

的表达式.

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20. 如图，设曲线方程为

y = x^{2} + \frac{1}{2}

，梯形

O A B C

的面积为

D

，曲边梯形

O A B C

的面积为

D_{1}

，点

A

的坐标为

(a, 0), a > 0

，证明:

\frac{D}{D_{1}} < \frac{3}{2}

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21. 计算曲线积分

\oint_{C} (z - y) d x + (x - z) d y + (x - y) d z

，其中

C

是曲线

{\begin{matrix} x^{2} + y^{2} = 1 \\ x - y + z = 2 \end{matrix}

，
从

z

轴正向往

z

轴负向看，

C

的方向是顺时针的.

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22. 设曲线

L

的极坐标方程为

r = r (θ), M (r, θ)

为

L

上任一点，

M_{0} (2, 0)

为

L

上一定点，若极径

O M_{0}, O M

与曲线

L

所围成的曲边扇形面积值等于

L

上

M_{0}, M

两点间弧长值的一半，求曲线

L

的直角坐标方程.

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23. 设

D

是以点

O (0, 0), A (1, 2)

和

B (2, 1)

为顶点的三角形区域，求

\iint_{D} x d x d y

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24. 求

I = \int_{L} (e^{x} \sin y - b (x + y)) d x + (e^{x} \cos y - a x) d y

，其中

a, b

为正的常数，

L

为从点

A (2 a, 0)

沿曲线

y = \sqrt{2 a x - x^{2}}

到点

O (0, 0)

的弧.

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25. 设函数

y (x) (x \geq 0)

二阶可导且

y^{'} (x) > 0, y (0) = 1

. 过曲线

y = f (x)

上任意一点

P (x, y)

作该曲线的切线及

x

轴的垂线，上述两直线与

x

轴所围成的三角形的面积记为

S_{1}

，区间

[0, x]

上以

y = y (x)

为曲边的曲边梯形面积记为

S_{2}

，并设

2 S_{1} - S_{2}

恒为 1 ，求此曲线

y = y (x)

的方程.

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26. 计算曲线积分

I = \oint_{L} \frac{x d y - y d x}{4 x^{2} + y^{2}}

，其中

L

是以点

(1, 0)

为中心，

R (R > 1)

为半径的圆周，取逆时针方向.

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27. 设

x O y

平面上有正方形

D = {(x, y) ∣ 0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq 1}

及直线

l : x + y = t (t \geq 0)

，若

S (t)

表示正方形

D

位于直线

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28. 已知抛物线

y = p x^{2} + q x

(其中

p < 0, q > 0

) 在第一象限内与直线

x + y = 5

相切，且此抛物线与

x

轴所围成的平面图形的面积为

S

.
(1) 问

p

和

q

为何值时，

S

达到最大?
(2) 求出此最大值.

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29. 设函数

f (x)

在

(- \infty, + \infty)

内具有一阶连续导数，

L

是上半平面

(y > 0)

内的有向分段光滑曲线，其起点为

(a, b)

，终点为

(c, d)

，记

I = \int_{L} \frac{1}{y} [1 + y^{2} f (x y)] d x + \frac{x}{y^{2}} [y^{2} f (x y) - 1] d y .

（1）证明曲线积分

I

与路径

L

无关；
（2）当

a b = c d

时，求

I

的值.

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30. 过坐标原点作曲线

y = \ln x

的切线，该切线与曲线

y = \ln x

及

x

轴围成平面图形

D

.
(1) 求

D

的面积

A

.
(2) 求

D

绕直线

x = e

旋转一周所得旋转体的体积

V

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31. 设位于第一象限的曲线

y = f (x)

过点

(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{2})

，其上任一点

P (x, y)

处的法线与

y

轴的交点为

Q

，且线段

P Q

被

x

轴平分.
(1) 求曲线

y = f (x)

的方程;
（2）已知曲线

y = \sin x

在

[0, π]

上的弧长为

l

，试用

l

表示曲线

y = f (x)

的弧长

s

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32. 计算曲面积分

I = \iint_{Σ} 2 x^{3} d y d z + 2 y^{3} d z d x + 3 (z^{2} - 1) d x d y,

其中

\sum

是曲面

z = 1 - x^{2} - y^{2} (z \geq 0)

的上侧.

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33. 设

F (x) = {\begin{cases} e^{2 x}, x \leq 0 \\ e^{- 2 x}, x > 0 \end{cases}

，S 表示夹在

x

轴与曲线

y = F (x)

之间的面积. 对任何

t > 0, S_{1} (t)

表示矩形

- t \leq x \leq t, 0 \leq y \leq F (t)

的面积. 求
(1)

S (t) = S - S_{1} (t)

的表达式；
(2)

S (t)

的最小值.

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34. 如下图，曲线

C

的方程为

y = f (x)

，点

(3, 2)

是它的一个拐点，直线

l_{1}

与

l_{2}

分别是曲线 C 在点

(0, 0)

与

(3, 2)

处的切线，其交点为

(2, 4)

. 设函数

f (x)

具有三阶连续导数，计算定积分

\int_{0}^{3} (x^{2} + x) f^{'''} (x) d x

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35. 计算二重积分

\iint_{D} | x^{2} + y^{2} - 1 | d σ

，其中

D = {(x, y) ∣ 0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq 1} .

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36. 计算曲面积分

I = \iint_{Σ} x z d y d z + 2 z y d z d x + 3 x y d x d y,

其中

Σ

为曲面

z = 1 - x^{2} - \frac{y^{2}}{4} (0 \leq z \leq 1)

的上侧.

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37. 设二元函数

f (x, y) = {\begin{cases} x^{2}, & | x | + | y | \leq 1 \\ \frac{1}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}, & 1 < | x | + | y | \leq 2 \end{cases}

计算二重积分

\iint_{D} f (x, y) d σ

，其中

D = {(x, y) ∥ x | + | y ∣\leq 2}

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38. 计算曲线积分

\int_{L} \sin 2 x d x + 2 (x^{2} - 1) y d y

，其中

L

是曲线

y = \sin x

上从点

(0, 0)

到点

(π, 0)

的一段.

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39. 计算

\iint_{D} max {x y, 1} d x d y

，其中

D = {(x, y) ∣ 0 \leq x \leq 2, 0 \leq y \leq 2}

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40. 设

a_{n}

为曲线

y = x^{n}

与

y = x^{n + 1} (n = 1, 2, \dots)

所围区域的面积，记

S_{1} = \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} ， S_{2} = \sum_{n = 1}^{\infty} a_{2 n - 1}

，求

S_{1}

与

S_{2}

的值

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