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设 $L$ 是一条平面曲线，其上任意一点 $P(x, y)(x>0)$ 到坐标原点的距离恒等于该点处的切线在 $y$ 轴上的截距，且 $L$ 经过点 $\left(\frac{1}{2}, 0\right)$.
(1) 试求曲线 $L$ 的方程;
(2) 求 $L$ 位于第一象限部分的一条切线，使该切线与 $L$ 以及两坐标轴所围图形面积最小.
                        
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